Temperaturabhängigkeit der Reaktionsgeschwindigkeit

Temperaturabhängigkeit der Reaktionsgeschwindigkeit

Hast du dich schon einmal gefragt, ob eine Reaktion schneller oder langsamer abläuft, wenn die Temperatur erhöht wird?

Den Zusammenhang zwischen der Temperatur und der Reaktionsgeschwindigkeit werden wir in diesem Text herausarbeiten. Dazu wird die Arrhenius-Gleichung beschrieben und deren Bedeutung erklärt. Daraus folgend wird über die Arrhenius-Gleichung die Reaktionsgeschwindigkeit-Temperatur-Regel erläutert, die RGT-Regel oder manchmal auch Zehn-Grad-Regel genannt wird. Als Vorkenntnisse solltest du ein solides Wissen über allgemeine Reaktionskinetik, also die Thermodynamik und Kinetik chemischer Reaktionen haben.

Kinetische Gleichungen

Kinetische Gleichungen zeigen in der Chemie den Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeitskonstante $k$ und der Reaktionsgeschwindigkeit $v$ auf. Allgemein ist die Reaktionsgeschwindigkeit $v$ abhängig von einem Produkt aus der Geschwindigkeitskonstante $k$ und der Konzentration des Edukts $c$. Einige kinetische Gleichungen sind folgend aufgeführt:

• $v = k \cdot c$
• $v = k \cdot {c}^2$
• $v = k \cdot {c}^3$
• $v = k \cdot c_\text{A} \cdot c_\text{B}$
• $v = k \cdot c_\text{A} \cdot {c_\text{B}}^2$
• $v = k \cdot c_\text{A} \cdot c_\text{B} \cdot c_\text{C}$

Welche dieser Gleichungen die Reaktionskinetik einer gegebenen Reaktion korrekt beschreibt, hängt von der Reaktionsordnung ab. Die Reaktionsordnung wird im Wesentlichen durch die Anzahl der Edukte $\text{A}$, $\text{B}$ und $\text{C}$ bzw. die Anzahl der nach der Stoßtheorie zusammenstoßenden (und miteinander reagierenden) Teilchen eines oder mehrerer Stoffe bestimmt.

Die Arrhenius-Gleichung in der Chemie

Die Geschwindigkeitskonstante $k$ steht in jedem Fall in direktem Zusammenhang mit der Reaktionsgeschwindigkeit $v$ und ist außerdem temperaturabhängig. Aber wie wird diese Abhängigkeit von der Temperatur $T$ beschrieben?

Der schwedische Chemiker Svante Arrhenius entwickelte im Jahr $1889$ die nach ihm benannte Arrhenius-Gleichung zur Beschreibung der Abhängigkeit der Reaktionsgeschwindigkeitskonstante $k$ von der Temperatur $T$.
Die Arrhenius-Gleichung lautet wie folgt:

$k = A \cdot e^{- \frac{E_a}{R \cdot T}}$

Sie setzt sich aus den folgenden Größen zusammen:

• $k$: Geschwindigkeitskonstante
• $A$: Präexponentialfaktor (auch präexponentieller Faktor, jeweils für die Reaktion charakteristisch)
• $E_\text{a}$: Aktivierungsenergie (jeweils für die Reaktion charakteristisch)
• $R$: universelle Gaskonstante $\left(R = \pu{8,314 J//mol*K} \right)$
• $T$: absolute Temperatur in $\text{K}$ (Kelvin)

Bedeutung der Arrhenius-Gleichung

Bisher haben wir einige kinetische Gleichungen und die Arrhenius-Gleichung kennengelernt. Doch welche Bedeutung hat die Arrhenius-Gleichung für die Reaktionsgeschwindigkeit?

$k = A \cdot e^{- \frac{E_a}{R \cdot T}}$

Der Präexponentialfaktor $A$ und die Aktivierungsenergie $E_\text{a}$ sind reaktionsabhängig, dabei aber über ein gewisses Temperaturintervall konstant. Deswegen können wir der Arrhenius-Gleichung (oben) entnehmen, dass mit steigender Temperatur $T$ auch die Geschwindigkeitskonstante $k$ steigt. Mit steigender Geschwindigkeitskonstante $k$ steigt wiederum auch die Reaktionsgeschwindigkeit $v$.

RGT-Regel – Definition und Bedeutung

Die Reaktionsgeschwindigkeit-Temperatur-Regel ist eine Faustregel in der Chemie und sagt aus, dass sich die Reaktionsgeschwindigkeit bei einer Temperaturerhöhung von zehn Kelvin in etwa verdoppelt bis vervierfacht.

Stell dir vor, dass du eine Reaktion zuerst bei $\pu{20 °C}$ und dann bei $\pu{30 °C}$ ablaufen lässt. Die RGT-Regel besagt, dass die zweite Durchführung der Reaktion in etwa doppelt so schnell ablaufen wird wie die erste Durchführung.

Herleitung der RGT-Regel – Beispiel

Wie können wir zeigen, dass die RGT-Regel stimmt? Neben der Möglichkeit, die Reaktionsgeschwindigkeiten in einem Versuch zu messen, können wir mit der Arrhenius-Gleichung mathematisch zeigen, dass die RGT-Regel gilt. Einfach erklärt, entwickeln wir zunächst eine Formel, in welche wir Beispielwerte einsetzen können, um die RGT-Regel zu überprüfen. Im weiteren Verlauf wird mit einer gegebenen chemischen Reaktion die RGT-Regel überprüft, indem der Faktor der Reaktionsgeschwindigkeitserhöhung bei einer Temperaturerhöhung (um zehn Kelvin) berechnet wird. Die Temperatur wird nachfolgend deshalb immer in der Einheit Kelvin angegeben.

Herleitung der Gleichung zur Überprüfung der RGT-Regel

1. Aufstellen der Arrhenius-Gleichung für die erste ablaufende Reaktion bei einer konstanten Temperatur $T$:
   $k = A \cdot e^{-\frac{E_\text{a}}{R \cdot T}} \quad \left( \text{I} \right)$
   

2. Aufstellen der Arrhenius-Gleichung für die zweite ablaufende Reaktion bei einer konstanten Temperatur $T + \pu{10 K}$:
   Es wird die Annahme getroffen, dass sich die Reaktionsgeschwindigkeit der ablaufenden Reaktion bei einer Erhöhung der Temperatur $T$ um zehn Kelvin in etwa verdoppelt. Die Geschwindigkeitskonstante $k$ erhält also den Faktor $2$ und die Temperatur $T$ erhöht sich um $+10\,\text{K}$. So ergibt sich die zweite Gleichung:
   $2\,k = A \cdot e^{-\frac{E_\text{a}}{R (T+10\,\text{K})}} \quad \left( \text{II} \right)$
   

3. Durch Umstellen nach $k$ und anschließende Division der Gleichungen $\left( \text{II} \right) : \left( \text{I} \right)$ ergibt sich:
   $\frac{2\,k}{k} = A \cdot e^{-\frac{E_\text{a}}{R \cdot (T+10\,\text{K})}} \cdot \frac{1}{A} \cdot e^{\frac{E_\text{a}}{R \cdot T}}$
   
   $2 = e^{-\frac{E_\text{a}}{R \cdot (T+10\,\text{K})}} \cdot e^{\frac{E_\text{a}}{R \cdot T}} \quad \left( \text{III} \right)$
   

4. Auflösung der Gleichung $\left( \text{II} \right)$ nach der Aktivierungsenergie $E_\text{a}$:
   $2 = e^{-\frac{E_\text{a}}{R \cdot (T+10\,\text{K})}} \cdot e^{\frac{E_\text{a}}{R \cdot T}} \quad \big\vert~\ln(~)$
   
   $\ln{2} = -\frac{E_\text{a}}{R \cdot (T+10\,\text{K})} + \frac{E_\text{a}}{R \cdot T}$
   
   $\ln{2} = \frac{E_\text{a}}{R} \cdot \left( \frac{1}{T} - \frac{1}{(T+10\,\text{K})} \right) \quad \big\vert~\cdot R$
   
   $R \cdot \ln{2} = E_\text{a} \cdot \left( \frac{1}{T} - \frac{1}{(T+10\,\text{K})} \right)$
   
   $R \cdot \ln{2} = E_\text{a} \cdot \left( \frac{1 \cdot (T+10\,\text{K})}{T \cdot (T+10\,\text{K})} - \frac{T \cdot 1}{T \cdot (T+10\,\text{K})} \right)$
   
   $R \cdot \ln{2} = E_\text{a} \cdot \left( \frac{T+10-T}{T \cdot (T+10\,\text{K})} \right)$
   
   $R \cdot \ln{2} = E_\text{a} \cdot \left( \frac{10}{T \cdot (T+10\,\text{K})} \right) \quad \big\vert~:10$
   
   $R \cdot \frac{\ln{2}}{10} = E_\text{a} \cdot \frac{1}{T \cdot (T+10\,\text{K})} \quad \big\vert~\cdot T \cdot (T+10\,\text{K})$
   
   $R \cdot \frac{\ln{2}}{10} \cdot T \cdot (T+10\,\text{K}) = E_\text{a}$
   

Nun haben wir eine Gleichung, mit der wir die Aktivierungsenergie $E_\text{a}$ berechnen können. Das Einsetzen der universellen Gaskonstante $R = \pu{8,314 J//mol*K}$ in die Gleichung ergibt:

$E_\text{a} = 8{,}314\,\frac{\text{J}}{\text{mol} \cdot \text{K}} \cdot \frac{\ln{2}}{10} \cdot T \cdot (T+10\,\text{K})$

Damit erhalten wir eine vereinfachte Annäherung für die Aktivierungsenergie:

$E_\text{a} = 0{,}576 \cdot T \cdot (T+10)\,\frac{\text{J}}{\text{mol}} \quad \left( \text{IV} \right)$

Überprüfung der RGT-Regel durch Einsetzen von Werten

Einfach erklärt, setzen wir nun verschiedene Werte für $T$ in die ermittelte Gleichung $\left( \text{IV} \right)$ ein, um die RGT-Regel zu überprüfen. Wir legen dabei jeweils eine Temperatur $T$ fest, erhöhen diese um zehn Kelvin und berechnen die entsprechende Aktivierungsenergie $E_\text{a}$. Das wollen wir im Folgenden am Beispiel der Knallgasreaktion einmal durchführen.

Überprüfung der RGT-Regel am Beispiel der Knallgasreaktion

Die Knallgasreaktion ist eine explosive Reaktion von Wasserstoff mit Sauerstoff zu Wasser und einem Sauerstoffradikal. Die Reaktionsgleichung lautet:

$\ce{H2 + O2 -> H2O + O.}$

Anhand der Knallgasreaktion wollen wir nun den Faktor $n$ berechnen, um den die Reaktionsgeschwindigkeit bei einer Erhöhung der Temperatur um zehn Kelvin zunimmt. Bei der Knallgasreaktion kann experimentell eine Aktivierungsenergie $E_\text{a}$ von $\pu{295 kJ//mol}$ gemessen werden. Weiterhin nehmen wir eine für die Reaktion plausible Temperatur $T$ von $\pu{700 K}$ an. In unserer hergeleiteten Gleichung hatten wir für $n$ den Wert $2$ angenommen:

$E_\text{a} = 8{,}314\,\frac{\text{J}}{\text{mol} \cdot \text{K}} \cdot \frac{\ln{2}}{10} \cdot T \cdot (T+10\,\text{K})$

Den genauen Wert des Faktors $n$ für die Veränderung der Reaktionsgeschwindigkeit der gegebenen Reaktionen wollen wir nun rechnerisch bestimmen. Wir ersetzen in unserer Gleichung also $2$ durch $n$:

$E_\text{a} = 8{,}314 \frac{\text{J}}{\text{mol} \cdot \text{K}} \cdot \frac{\ln{n}}{10} \cdot T \cdot (T+10\,\text{K})$

Umstellen nach $n$ ergibt:

$n = e^{ \frac{295000}{0{,}8314 \cdot ({700}^2 + 7000)}}$

$n \approx 2{,}04$

wobei wir der Einfachheit halber hier auf das Mitführen der Einheiten verzichtet haben.
Der berechnete Faktor für die Knallgasreaktion liegt also bei etwa $2{,}04$. Das liegt genau im erwarteten Bereich. Man erhält also selbst im Fall der explosiven Knallgasreaktion hier einen plausiblen Wert, der für die Tauglichkeit der RGT-Regel spricht.

Praktische Folgen der Temperaturabhängigkeit der Reaktionsgeschwindigkeit

Bis hierhin haben wir gelernt, was die Arrhenius-Gleichung ist und wie wir mit dieser die RGT-Regel herleiten können. Als Orientierungshilfe kannst du dir merken, dass sich bei einer Temperaturerhöhung um zehn Kelvin die Reaktionsgeschwindigkeit verdoppelt.

Welche Auswirkungen haben die gewonnenen Kenntnisse nun auf praktische Belange?

• Wenn die Temperatur $T$ gegen null geht, geht auch die Geschwindigkeitskonstante $k$ gegen null. Das bedeutet, dass bei einer Temperatur von null Kelvin die Reaktion unendlich langsam, also praktisch gar nicht, stattfindet.
  $k = A \cdot e^{- \frac{E_\text{a}}{R \cdot T}}$
  
  $\lim_{T \to 0} k = A \cdot e^{- \infty} = A \cdot 0 = 0$
  

• Wenn die Temperatur $T$ sehr groß wird, also gegen unendlich geht, geht die Geschwindigkeitskonstante $k$ gegen einen Grenzwert, den Präexponentialfaktor $A$, welcher charakteristisch für die jeweilige ablaufende Reaktion ist. Damit bewegt sich die Reaktionsgeschwindigkeit $v$ bei steigender Temperatur gegen ein Maximum:
  $k = A \cdot e^{- \frac{E_\text{a}}{R \cdot T}}$
  
  $\lim_{T \to \infty} k = A \cdot e^{0} = A \cdot 1 = A \quad \Leftrightarrow \quad v \longrightarrow \text{max}$
  

Grafische Darstellung der Temperatur und der Geschwindigkeitskonstante

Die beiden beschriebenen Grenzfälle können grafisch dargestellt werden. Wenn die Geschwindigkeitskonstante $k$ über der Temperatur $T$ aufgetragen wird, verläuft die Kurve monoton steigend aus dem Ursprung und nähert sich asymptotisch einer parallel zur $T$-Achse verlaufenden Linie. Diese Linie kennzeichnet den Wert des Präexponentialfaktors $A$. In der folgenden Abbildung ist die Auftragung der Geschwindigkeitskonstante $k$ über der Temperatur $T$ zu sehen.

Was können wir nun der Grafik entnehmen? Wir können zum Beispiel ermitteln, in welchen Bereichen eine Änderung der Temperatur, bei der eine Reaktion abläuft, den größten Effekt hat.

• Erwärmungen im niedrigen Temperaturbereich sind am effektivsten, weil eine Temperaturzunahme dort einen großen Einfluss auf $k$ und damit auf die Reaktionsgeschwindigkeit hat.
• Erwärmungen bei hohen Temperaturen haben wenig Sinn, weil Veränderungen der Temperatur in diesem Bereich nur einen geringen Einfluss auf $k$ bzw. auf die Reaktionsgeschwindigkeit haben.

Ausblick – das lernst du nach Temperaturabhängigkeit der Reaktionsgeschwindigkeit

Nun da du die Zusammenhänge von Temperatur und Reaktionsgeschwindigkeit kennst, ist es an der Zeit, die Wirkungsweise von Katalysatoren zu erkunden. Natürlich solltest du dir auch das Themenfeld Aktivierungsenergie nicht entgehen lassen. So bekommst du einen umfassenden Blick der physikalischen Chemie!

Häufig gestellte Fragen zum Thema RGT-Regel und Arrhenius-Gleichung