Flächeninhalt Dreieck, Parallelogramm und Trapez – Übungen

Gesucht: $A$

Rechenweg:
Wir setzen die Grundseite und die Höhe in die Formel
$$A = \frac{1}{2}\,g\,h$$
ein und berechnen somit
$$A = \frac{1}{2}\cdot 10\,\text{cm}\cdot 5\,\text{cm} = 25\,\text{cm}^2.$$

Lösung:
Der Flächeninhalt beträgt $25\,\text{cm}^2$.

Gesucht: $g$

Rechenweg:
Wir formen die Flächenformel nach der Grundseite um, sodass
$$g = \frac{2A}{h}$$
gilt. Mit $A = 35\,\text{cm}^2$ und $h = 7\,\text{cm}$ folgt
$$g = \frac{2\cdot 35\,\text{cm}^2}{7\,\text{cm}} = 10\,\text{cm}.$$

Lösung:
Die Grundseite hat die Länge $10\,\text{cm}$.

Gesucht: $h$

Rechenweg:
Wir lösen die Formel nach der Höhe auf:
$$h = \frac{2A}{g}.$$
Setzen wir $A = 81\,\text{m}^2$ und $g = 9\,\text{m}$ ein, so ergibt sich
$$h = \frac{2\cdot 81\,\text{m}^2}{9\,\text{m}} = 18\,\text{m}.$$

Lösung:
Die Höhe beträgt $18\,\text{m}$.

Gesucht: $A$

Rechenweg:
Wir multiplizieren zuerst Grundseite und Höhe und halbieren dann das Produkt. So erhalten wir
$$A = \frac{1}{2}\cdot 14\,\text{cm}\cdot 9\,\text{cm} = \frac{1}{2}\cdot 126\,\text{cm}^2 = 63\,\text{cm}^2.$$

Lösung:
Der Flächeninhalt beträgt $63\,\text{cm}^2$.

Gesucht: $g$

Rechenweg:
Wir gleichen zunächst die Einheiten an, indem wir $40\,\text{cm}$ in Meter umrechnen: $40\,\text{cm} = 0{,}4\,\text{m}$. Anschließend setzen wir in
$$g = \frac{2A}{h}$$
ein und erhalten
$$g = \frac{2\cdot 2\,\text{m}^2}{0{,}4\,\text{m}} = 10\,\text{m}.$$

Lösung:
Die Grundseite hat die Länge $10\,\text{m}$.

Gesucht: $h$

Rechenweg:
Wir wandeln die Grundseite von Dezimetern in Zentimeter um, wobei $4\,\text{dm} = 40\,\text{cm}$ gilt. Dann lösen wir
$$h = \frac{2A}{g}$$
nach der Höhe auf und berechnen
$$h = \frac{2\cdot 5600\,\text{cm}^2}{40\,\text{cm}} = 280\,\text{cm}.$$

Lösung:
Die Höhe beträgt $280\,\text{cm}$, also $2{,}8\,\text{m}$.

Gesucht: $A$

Rechenweg:
Wir setzen die Größen in Dezimeter direkt in die Formel ein, da beide dieselbe Einheit haben:
$$A = \frac{1}{2}\cdot 4\,\text{dm}\cdot 6\,\text{dm} = 12\,\text{dm}^2.$$

Lösung:
Der Flächeninhalt beträgt $12\,\text{dm}^2$.

Gesucht: $g$

Rechenweg:
Wir formen um nach der Grundseite und erhalten
$$g = \frac{2A}{h} = \frac{2\cdot 84\,\text{cm}^2}{12\,\text{cm}} = 14\,\text{cm}.$$

Lösung:
Die Grundseite hat die Länge $14\,\text{cm}$.

Gesucht: $h$

Rechenweg:
Wir wandeln die Grundseite von Metern in Millimeter um, wobei $0{,}3\,\text{m} = 300\,\text{mm}$ ist. Danach setzen wir in
$$h = \frac{2A}{g}$$
ein und erhalten
$$h = \frac{2\cdot 24\,000\,\text{mm}^2}{300\,\text{mm}} = 160\,\text{mm}.$$

Lösung:
Die Höhe beträgt $160\,\text{mm}$ beziehungsweise $16\,\text{cm}$.

Gesucht: $A$

Rechenweg:
Wir schreiben beide Größen in Zentimeter: $1{,}8\,\text{dm} = 18\,\text{cm}$ und $250\,\text{mm} = 25\,\text{cm}$. Anschließend berechnen wir den Flächeninhalt:
$$A = \frac{1}{2}\cdot 18\,\text{cm}\cdot 25\,\text{cm} = 225\,\text{cm}^2.$$

Lösung:
Der Flächeninhalt beträgt $225\,\text{cm}^2$.

Gesucht: $A$

Rechenweg:
Wir setzen die Seitenlänge und die Höhe in die Formel
$$A = a\cdot h_a$$
ein und erhalten dabei
$$A = 10\,\text{cm}\cdot 5\,\text{cm} = 50\,\text{cm}^2.$$

Lösung:
Der Flächeninhalt beträgt $50\,\text{cm}^2$.

Gesucht: $a$

Rechenweg:
Wir formen die Flächenformel nach $a$ um, so dass
$$a = \frac{A}{h_a}$$
gilt. Mit $A=84\,\text{cm}^2$ und $h_a=7\,\text{cm}$ folgt
$$a = \frac{84\,\text{cm}^2}{7\,\text{cm}} = 12\,\text{cm}.$$

Lösung:
Die Seitenlänge beträgt $12\,\text{cm}$.

Gesucht: $h_a$

Rechenweg:
Wir lösen nach der Höhe auf und verwenden
$$h_a = \frac{A}{a}.$$
Setzen wir $A=36\,\text{m}^2$ und $a=6\,\text{m}$ ein, so ergibt sich
$$h_a = \frac{36\,\text{m}^2}{6\,\text{m}} = 6\,\text{m}.$$

Lösung:
Die Höhe beträgt $6\,\text{m}$.

Gesucht: $A$

Rechenweg:
Wir multiplizieren die Länge $14\,\text{cm}$ mit der Höhe $9\,\text{cm}$ und erhalten
$$A = 14\,\text{cm}\cdot 9\,\text{cm} = 126\,\text{cm}^2.$$

Lösung:
Der Flächeninhalt beträgt $126\,\text{cm}^2$.

Gesucht: $a$

Rechenweg:
Wir formen nach $a$ um und erhalten
$$a = \frac{A}{h_a} = \frac{2\,\text{m}^2}{\dfrac{1}{2}\,\text{m}}.$$
Insgesamt ergibt sich
$$a = 2 \cdot 2\,\text{m} = 4\,\text{m}.$$

Lösung:
Die Seitenlänge beträgt $4\,\text{m}$.

Gesucht: $h_a$

Rechenweg:
Wir wandeln zunächst $a$ in Zentimeter um: $4\,\text{dm} = 40\,\text{cm}$.
Dann setzen wir in
$$h_a = \frac{A}{a} = \frac{5600\,\text{cm}^2}{40\,\text{cm}}$$
ein und erhalten
$$h_a = 140\,\text{cm}.$$

Lösung:
Die Höhe beträgt $140\,\text{cm}$.

Gesucht: $A$

Rechenweg:
Wir multiplizieren beide Größen in Dezimetern, da sie dieselbe Einheit haben:
$$A = 4\,\text{dm}\cdot 6\,\text{dm} = 24\,\text{dm}^2.$$

Lösung:
Der Flächeninhalt beträgt $24\,\text{dm}^2$.

Gesucht: $a$

Rechenweg:
Wir wandeln $h_a$ in Zentimeter um: $200\,\text{mm} = 20\,\text{cm}$.
Anschließend berechnen wir
$$a = \frac{A}{h_a} = \frac{5000\,\text{cm}^2}{20\,\text{cm}} = 250\,\text{cm}.$$

Lösung:
Die Seitenlänge beträgt $250\,\text{cm}$.

Gesucht: $A$

Rechenweg:
Wir berechnen das Produkt aus $3\,\text{m}$ und $\dfrac{3}{2}\,\text{m}$ und erhalten
$$A = 3\,\text{m}\cdot \dfrac{3}{2}\,\text{m} = \dfrac{9}{2}\,\text{m}^2.$$

Lösung:
Der Flächeninhalt beträgt $\dfrac{9}{2}\,\text{m}^2$.

Gesucht: $A$

Rechenweg:
Wir setzen die Brüche ein und rechnen:
$$A = \dfrac{5}{2}\,\text{m} \cdot \dfrac{4}{5}\,\text{m} = \dfrac{5\cdot 4}{2\cdot 5}\,\text{m}^2 = 2\,\text{m}^2$$
Anschließend wandeln wir in Quadratzentimeter um:
$$2\,\text{m}^2 = 2\cdot 10\,000\,\text{cm}^2 = 20\,000\,\text{cm}^2$$

Lösung:
Der Flächeninhalt beträgt $2\,\text{m}^2$ beziehungsweise $20\,000\,\text{cm}^2$.

Gesucht: $A$

Rechenweg:
Wir setzen die beiden Grundseiten und die Höhe in die Formel
$$A = \dfrac{1}{2}\cdot\bigl(a + c\bigr)\cdot h$$
ein und erhalten

$$\begin{array}{rl} A &= \dfrac{1}{2}\cdot\bigl(8\,\text{cm} + 5\,\text{cm}\bigr)\cdot 4\,\text{cm} \\ & \\ &= \dfrac{1}{2}\cdot 13\,\text{cm}\cdot 4\,\text{cm} \\ & \\ &= 26\,\text{cm}^2 \end{array}$$

Lösung:
Der Flächeninhalt beträgt $26\,\text{cm}^2$.

Gesucht: $a$

Rechenweg:
Wir formen die Formel nach $a$ um und berechnen so

$$\begin{array}{rl} a &= \dfrac{2A}{h} - c \\ & \\ &= \dfrac{2\cdot 54\,\text{cm}^2}{3\,\text{cm}} - 7\,\text{cm} \\ & \\ &= 36\,\text{cm} - 7\,\text{cm} \\ & \\ &= 29\,\text{cm} \end{array}$$

Lösung:
Die erste Grundseite beträgt $29\,\text{cm}$.

Gesucht: $A$

Rechenweg:
Wir setzen die Werte in die Formel ein und rechnen

$$\begin{array}{rl} A &= \dfrac{1}{2}\cdot\bigl(2\,\text{m} + 3\,\text{m}\bigr)\cdot 1\,\text{m} \\ & \\ &= \dfrac{1}{2}\cdot 5\,\text{m}\cdot 1\,\text{m} \\ & \\ &= 2{,}5\,\text{m}^2 \end{array}$$

Lösung:
Der Flächeninhalt beträgt $2{,}5\,\text{m}^2$.

Gesucht: $A$

Rechenweg:
Wir fassen zuerst die Grundseiten zusammen und berechnen dann

$$\begin{array}{rrl} &a + c &= 4{,}2\,\text{cm} + 3{,}8\,\text{cm} = 8{,}0\,\text{cm} \\ && \\ \Rightarrow & A &= \dfrac{1}{2}\cdot 8{,}0\,\text{cm}\cdot 5{,}6\,\text{cm} \\ && \\ & &= 4{,}0\,\text{cm}\cdot 5{,}6\,\text{cm} \\ && \\ & &= 22{,}4\,\text{cm}^2 \end{array}$$

Lösung:
Der Flächeninhalt beträgt $22{,}4\,\text{cm}^2$.

Gesucht: $a$

Rechenweg:
Wir rechnen die Höhe in Meter um und formen dann nach $a$ um:

$$\begin{array}{rrl} & h &= 60\,\text{cm} = 0{,}6\,\text{m} \\ && \\ \Rightarrow & a &= \dfrac{2A}{h} - c \\ && \\ & &= \dfrac{2\cdot 7{,}2\,\text{m}^2}{0{,}6\,\text{m}} - 1{,}2\,\text{m} \\ & & \\ & &= 24\,\text{m} - 1{,}2\,\text{m} \\ & & \\ & &= 22{,}8\,\text{m} \end{array}$$

Lösung:
Die erste Grundseite beträgt $22{,}8\,\text{m}$.

Gesucht: $A$

Rechenweg:
Wir bringen alle Längen in Zentimeter und berechnen dann

$$\begin{array}{rrl} & a &= 4\,\text{dm} = 40\,\text{cm},\quad c = 60\,\text{cm},\quad h = 2\,\text{m} = 200\,\text{cm} \\ & &\\ \Rightarrow & A &= \dfrac{1}{2}\cdot\bigl(40\,\text{cm} + 60\,\text{cm}\bigr)\cdot 200\,\text{cm} \\ & & \\ & &= \dfrac{1}{2}\cdot 100\,\text{cm}\cdot 200\,\text{cm} \\ & & \\ & &= 10\,000\,\text{cm}^2 \\ \\ & &= 1\,\text{m}^2 \end{array}$$

Lösung:
Der Flächeninhalt beträgt $1\,\text{m}^2$.

Gesucht: $A$

Rechenweg:
Wir addieren die Grundseiten und wenden die Formel an:

$$\begin{array}{rrl} &a + c &= 1\,200\,\text{m} + 800\,\text{m} = 2\,000\,\text{m} \\ & & \\ \Rightarrow & A &= \dfrac{1}{2}\cdot 2\,000\,\text{m}\cdot 50\,\text{m} \\ & & \\ & &= 1\,000\,\text{m}\cdot 50\,\text{m} \\ & &\\ & &= 50\,000\,\text{m}^2 \end{array}$$

Lösung:
Der Flächeninhalt beträgt $50\,000\,\text{m}^2$.

Gesucht: $A$

Rechenweg:
Wir fassen die Brüche zusammen und berechnen dann

$$\begin{array}{rrl} & a + c &= \dfrac{5}{2}\,\text{m} + \dfrac{3}{2}\,\text{m} = 4\,\text{m} \\ & & \\ \Rightarrow & A &= \dfrac{1}{2}\cdot 4\,\text{m}\cdot 4\,\text{m} \\ & & \\ & &= 8\,\text{m}^2 \end{array}$$

Lösung:
Der Flächeninhalt beträgt $8\,\text{m}^2$.

Gesucht: $A$

Rechenweg:
Wir schreiben alle Längen in Millimeter und berechnen dann

$$\begin{array}{rrl} & a &= 0{,}5\,\text{m} = 500\,\text{mm},\quad c = 750\,\text{mm},\quad h = 1{,}2\,\text{m} = 1\,200\,\text{mm} \\ & & \\ \Rightarrow & A &= \dfrac{1}{2}\cdot\bigl(500\,\text{mm} + 750\,\text{mm}\bigr)\cdot 1\,200\,\text{mm} \\ & & \\ & &= \dfrac{1}{2}\cdot 1\,250\,\text{mm}\cdot 1\,200\,\text{mm} \\ & \\ & &= 750\,000\,\text{mm}^2 \\ & \\ & &= 7500\,\text{cm}^2 \end{array}$$

Lösung:
Der Flächeninhalt beträgt $7500\,\text{cm}^2$.

Gesucht: $A$

Rechenweg:
Wir rechnen die Höhe in Zentimeter um und addieren die Grundseiten, dann rechnen wir

$$\begin{array}{rrl} & h &= 1{,}5\,\text{m} = 150\,\text{cm} \\ & & \\ & a + c &= 12\,000\,\text{cm} + 8\,000\,\text{cm} = 20\,000\,\text{cm} \\ && \\ \Rightarrow & A &= \dfrac{1}{2}\cdot 20\,000\,\text{cm}\cdot 150\,\text{cm} \\ & & \\ & &= 10\,000\,\text{cm}\cdot 150\,\text{cm} \\ & & \\ & &= 1\,500\,000\,\text{cm}^2 \\ & & \\ & &= 150\,\text{m}^2 \end{array}$$

Lösung:
Der Flächeninhalt beträgt $150\,\text{m}^2$.

Rechenweg:

Um den Flächeninhalt der Figur zu bestimmen, können wir die Figur in ein Quadrat und ein Dreieck zerlegen. Dabei hat das Quadrat eine Seitenlänge von $8\,\text{cm}$. Das Dreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten $8\,\text{cm}$ und $10\,\text{cm} - 8\,\text{cm} = 2\,\text{cm}$.

Die Flächeninhalte vom Quadrat $A_{\square}$ und vom Dreieck $A_{\triangle}$ werden zunächst einzeln berechnet und dann zusammenaddiert:

$$\begin{array}{rrl} & A_{\square} &= 8\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 64\,\text{cm}^2 \\ & & \\ & A_{\triangle} & = \dfrac{1}{2} \cdot 8\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 8\,\text{cm}^2 \\ && \\ \Rightarrow & A &= A_{\square} + A_{\triangle} \\ && \\ && = 64\,\text{cm}^2 + 8\,\text{cm}^2 \\ && \\ && = 72\,\text{cm}^2 \end{array}$$

Lösung:
Der Flächeninhalt der zusammengesetzten Figur ist $A = 72\,\text{cm}^2$.

Alternative:
Trapez mit $a = 10~\text{cm}$, $c = 8~\text{cm}$ und $h = 8~\text{cm}$.

Rechenweg:

Um den Flächeninhalt der zusammengesetzten Figur zu berechnen, zerlegen wir sie in zwei einfache geometrische Formen: ein Trapez und ein Dreieck.

Das Trapez hat zwei parallele Seiten mit den Längen $10\,\text{cm}$ und $6\,\text{cm}$ sowie eine Höhe von $8\,\text{cm}$. Um die Fläche des Trapezes zu berechnen, verwenden wir die Formel:

$$ A_{\text{Trapez}} = \dfrac{1}{2} \cdot (a + c) \cdot h $$ Dabei steht $a$ für die längere, $c$ für die kürzere parallele Seite und $h$ für die Höhe. Setzen wir die Werte ein, ergibt sich: $$ A_{\text{Trapez}} = \dfrac{1}{2} \cdot (10\,\text{cm} + 6\,\text{cm}) \cdot 8\,\text{cm} = \dfrac{1}{2} \cdot 16\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 64\,\text{cm}^2 $$

Das Dreieck hat eine Grundseite von $6\,\text{cm}$ und eine Höhe von $4\,\text{cm}$. Die Fläche des Dreiecks berechnen wir mit der Formel: $$ A_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h $$ Einsetzen der Werte ergibt: $$ A_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \cdot 6\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 12\,\text{cm}^2 $$

Um die gesamte Fläche der Figur zu erhalten, addieren wir die beiden Einzelflächen: $$ A = A_{\text{Trapez}} + A_{\triangle} = 64\,\text{cm}^2 + 12\,\text{cm}^2 = 76\,\text{cm}^2 $$

Lösung:
Der Flächeninhalt der zusammengesetzten Figur beträgt $76\,\text{cm}^2$.

Alternative:
Von der Fläche eines großen Trapezes (${a = 8~\text{cm} + 4~\text{cm} = 12~\text{cm}}$, ${c = 8~\text{cm}}$ und ${h = 10~\text{cm}}$) ein Dreieck (${g = 8~\text{cm} + 4~\text{cm} = 12~\text{cm}}$ und ${h = 10~\text{cm} - 6~\text{cm} = 4~\text{cm}}$) abziehen.

Rechenweg:

Die zusammengesetzte Figur besteht aus zwei geometrischen Formen: einem Parallelogramm und einem Quadrat. Das Quadrat liegt dabei direkt an der oberen Seite des Parallelogramms an. Beide Figuren teilen sich die Seitenlänge $10\,\text{cm}$.

Das Parallelogramm hat eine Grundseite von $10\,\text{cm}$ und eine Höhe von $8\,\text{cm}$. Die Fläche eines Parallelogramms berechnet man mit der Formel: $$ A_{\text{Parallelogramm}} = a \cdot h $$ Dabei steht $a$ für die Grundseite und $h$ für die Höhe. Setzen wir die Werte ein: $$ A_{\text{Parallelogramm}} = 10\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 80\,\text{cm}^2 $$

Das Quadrat hat eine Seitenlänge von $10\,\text{cm}$. Die Fläche eines Quadrats berechnet sich mit: $$ A_{\square} = a^2 $$ Einsetzen ergibt: $$ A_{\square} = 10\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} = 100\,\text{cm}^2 $$

Nun berechnen wir den gesamten Flächeninhalt der zusammengesetzten Figur, indem wir beide Einzelflächen addieren: $$ A = A_{\text{Parallelogramm}} + A_{\square} = 80\,\text{cm}^2 + 100\,\text{cm}^2 = 180\,\text{cm}^2 $$

Lösung:
Der Flächeninhalt der zusammengesetzten Figur beträgt $180\,\text{cm}^2$.