Standardabweichung

Standardabweichung Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zur Standardabweichung.

  Tipps

  Der Mittelwert wird oft auch Durchschnitt genannt.

  Die Formel für die Standardabweichung lautet:

  $\sigma= \sqrt{\dfrac{(\bar{x}-x_1)^2+(\bar{x}-x_2)^2+...+(\bar{x}-x_n)^2}{n}}$

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Den Mittelwert eines Datensatzes berechnest du, indem du die einzelnen Werte multiplizierst und durch die Anzahl der Werte teilst.“

  • Bei der Berechnung des Mittelwertes eines Datensatzes musst du die einzelnen Werte addieren und diese Summe dann durch die Anzahl der Werte teilen.

  „Ist der Mittelwert zweier Datensätze identisch, besitzen diese auch dieselbe Standardabweichung.“

  • Zwei Datensätze mit identischem Mittelwert können unterschiedliche Standardabweichungen haben. Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung eines Datensatzes. Sie beschreibt also, wie weit die einzelnen Werte im Durchschnitt vom Mittelwert abweichen.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Die Standardabweichung gibt an, wie stark die einzelnen Werte eines Datensatzes durchschnittlich vom Mittelwert abweichen.“

  „Die Standardabweichung wird mit dem griechischen Buchstaben $\sigma$ bezeichnet.“

  „Je größer die Standardabweichung ist, desto stärker weichen die einzelnen Werte eines Datensatzes vom Mittelwert ab.“

  • Die obigen drei Aussagen beschreiben die Standardabweichung korrekt.

• Berechne die Standardabweichung.

  Tipps

  Da in der Formel der Standardabweichung der Mittelwert enthalten ist, musst du diesen Wert zuerst berechnen.

  Die Formel der Standardabweichung ist recht lang. Es kann helfen, Teile der Formel zuerst einzeln auszurechnen und anschließend einzusetzen.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  „Bevor wir die Standardabweichung bestimmen können, benötigen wir den Mittelwert des betrachteten Datensatzes. Dieser berechnet sich durch:

  $\bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$.

  Hier bezeichnet $n$ die Anzahl der Werte des Datensatzes. Wir erhalten:

  $\bar{x}=\dfrac{21+18+16+24+21}{5}=20$.“

  • Da in der Formel der Standardabweichung der Mittelwert enthalten ist, musst du diesen zuerst ausrechnen.

  „Damit können wir die Standardabweichung bestimmen. Diese berechnen wir durch:

  $\sigma= \sqrt{\dfrac{(\bar{x}-x_1)^2+(\bar{x}-x_2)^2+...+(\bar{x}-x_n)^2}{n}}$.

  Bei der Berechnung können wir Schritt für Schritt vorgehen. Beginnen wir mit den Abweichungen der Werte vom Mittelwert:

  $\bar{x}-x_1=20-21=-1$,

  $\bar{x}-x_2=20-18=2$,

  $\bar{x}-x_3=20-16=4$,

  $\bar{x}-x_4=20-24=-4$ und

  $\bar{x}-x_5=20-21=-1$.“

  • Die Formel der Standardabweichung ist recht lang. Es kann helfen, Teile der Formel zuerst einzeln auszurechnen und anschließend einzusetzen.

  „Anschließend setzen wir diese Werte in unsere Formel ein:

  $\sigma= \sqrt{\dfrac{(-1)^2+2^2+4^2+(-4)^2+(-1)^2}{5}}\approx 2,757$.“

• Ermittle die Standardabweichung des Datensatzes.

  Tipps

  Den Mittelwert berechnest du durch:

  $\bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$.

  Es kann helfen, zuerst die Abweichungen der einzelnen Werte vom Mittelwert zu bestimmen und diese anschließend in die Formel der Standardabweichung einzusetzen. Die Standardabweichung berechnest du mit folgender Formel:

  • $\sigma= \sqrt{\dfrac{(\bar{x}-x_1)^2+(\bar{x}-x_2)^2+...+(\bar{x}-x_n)^2}{n}}$.

  Lösung

  Du kannst die beiden Werte wie folgt bestimmen.

  Mittelwert:

  $\bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n}=\dfrac{51+62+51+60+56}{5}=56$

  Nun berechnen wir damit die Abweichungen der einzelnen Werte vom Mittelwert.

  $\bar{x}-x_1=56-56=0$

  $\bar{x}-x_2=56-51=5$

  $\bar{x}-x_3=56-60=-4$

  $\bar{x}-x_4=56-62=-6$

  $\bar{x}-x_5=56-51=5$

  Damit können wir nun die Standardabweichung wie folgt ermitteln:

  $\sigma= \sqrt{\dfrac{(\bar{x}-x_1)^2+(\bar{x}-x_2)^2+...+(\bar{x}-x_n)^2}{n}} = \sqrt{\dfrac{5^2+(-4)^2+(-6)^2+5^2}{5}} \approx 4,52$.

• Ermittle, welches Diagramm zu welcher Standardabweichung gehört.

  Tipps

  Du kannst die Diagramme zuordnen, indem du den Mittelwert und die Standardabweichung der Datensätze bestimmst und anschließend mit den Zahlen aus dem Diagramm vergleichst.

  Lösung

  Du kannst die Diagramme zuordnen, indem du den Mittelwert und die Standardabweichung der Datensätze bestimmst und anschließend mit den Zahlen aus dem Diagramm vergleichst.

  Den Mittelwert der ersten Tabelle berechnest du durch:

  $\bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n}=\dfrac{12+14+15+11+17}{5}=13,8$.

  Berechnen wir damit zunächst die Abweichungen der einzelnen Werte vom Mittelwert.

  $\bar{x}-x_1=1,8$

  $\bar{x}-x_2=-0,2$

  $\bar{x}-x_3=-1,2$

  $\bar{x}-x_4=2,8$

  $\bar{x}-x_5=-3,2$

  Das können wir in die Formel der Standardabweichung einsetzen:

  $\sigma= \sqrt{\dfrac{(\bar{x}-x_1)^2+(\bar{x}-x_2)^2+...+(\bar{x}-x_n)^2}{n}} = \sqrt{\dfrac{1,8^2+(-0,2)^2+(-1,2)^2+2,8^2+(-3,2)^2}{5}} \approx 2,14$.

  Für die anderen Datensätze kannst du Mittelwert und Standardabweichung genauso bestimmen. Dann erhältst du:

  • Zweite Tabelle: $~ \bar{x}=20$; $~\sigma \approx 3,16$,

  • Dritte Tabelle: $~ \bar{x}=10$; $~\sigma \approx 0,63$ und

  • Vierte Tabelle: $~ \bar{x}=21,8$; $~\sigma \approx 1,72$.

• Berechne die Standardabweichung.

  Tipps

  Den Mittelwert $\bar{x}$ kannst du entweder aus der Formel der Standardabweichung ablesen (jeder Summand $(\bar{x}-x_i)^2$ enthält den Mittelwert) oder durch die Werte aus der Tabelle bestimmen.

  Die Größe $n$ beschreibt die Anzahl der Werte des Datensatzes. Diese Anzahl kannst du mithilfe der Tabelle ermitteln.

  In die Formel der Standardabweichung kannst du die Werte aus der Tabelle einsetzen. Die Reihenfolge der quadrierten Summanden ist dabei nicht relevant.

  Lösung

  So kannst du die Lücken füllen:

  • Den Mittelwert $\bar{x}$ kannst du entweder aus der Formel der Standardabweichung ablesen (jeder Summand $(\bar{x}-x_i)^2$ enthält den Mittelwert) oder durch die Werte aus der Tabelle bestimmen.

  • Die Größe $n$ beschreibt die Anzahl der Werte des Datensatzes. Diese Anzahl kannst du mithilfe der Tabelle ermitteln. Der hier betrachtete Datensatz enthält $n=5$ Werte.

  • In die Formel der Standardabweichung kannst du die Werte aus der Tabelle einsetzen. Die Reihenfolge der quadrierten Summanden ist dabei nicht relevant. Wir können zunächst die Abweichungen der Werte vom Mittelwert berechnen.

  $\bar{x}-x_1=20-23=-3$

  $\bar{x}-x_2=20-31=-11$

  $\bar{x}-x_3=20-10=10$

  $\bar{x}-x_4=20-25=-5$

  $\bar{x}-x_5=20-11=9$

  • Hast du alle Werte in die Formel der Standardabweichung eingesetzt, kannst du einen gerundeten Wert bestimmen.

  $\sigma= \sqrt{\dfrac{(-3)^2+(-11)^2+10^2+(-5)^2+9^2}{5}}\approx 8,2$

• Ermittle, welche Aussagen zur Standardabweichung korrekt sind.

  Tipps

  Das ist die Formel der Standardabweichung:

  $\sigma= \sqrt{\dfrac{(\bar{x}-x_1)^2+(\bar{x}-x_2)^2+...+(\bar{x}-x_n)^2}{n}}$.

  Lösung

  Mit der Formel der Standardabweichung und einigen Überlegungen können wir bestimmen, welche Aussagen richtig sind. Die Formel für die Standardabweichung lautet wie folgt:

  $\sigma= \sqrt{\dfrac{(\bar{x}-x_1)^2+(\bar{x}-x_2)^2+...+(\bar{x}-x_n)^2}{n}}$.

  Diese Aussagen sind falsch.

  „Betrachtest du zwei beliebige Datensätze mit unterschiedlicher Anzahl der Werte $n$, dann hat immer der Datensatz mit größerem $n$ die kleinere Standardabweichung.“

  • In der Formel der Standardabweichung wird zwar durch $n$ geteilt, also ist es korrekt, dass ein größeres $n$ zu einer kleineren Standardabweichung führt. Allerdings beeinflussen die Abweichungen der einzelnen Messwerte vom Mittelwert die Standardabweichung ebenso. Es kann also keine generelle Aussage getroffen werden, dass ein größeres $n$ immer zu einer kleineren Standardabweichung führt.

  „Die Standardabweichung gibt an, wie groß die Werte des Datensatzes durchschnittlich sind.“

  • Die Standardabweichung gibt an, wie stark die Werte durchschnittlich vom Mittelwert abweichen. Der Mittelwert gibt an, wie groß die Werte des Datensatzes durchschnittlich sind.

  Diese Aussagen sind richtig.

  „Kennst du nur den Mittelwert $\bar{x}$ eines Datensatzes, kannst du keine Aussage über die Standardabweichung treffen.“

  • Aus obiger Formel kannst du ablesen, dass du alle Werte des Datensatzes benötigst, um die Standardabweichung zu berechnen. Der Mittelwert allein reicht nicht aus.

  „Die Standardabweichung ist die Wurzel der durchschnittlichen quadrierten Abweichung der Messwerte vom Mittelwert.“

  • So kann man die Formel in Worten ausdrücken.

  „Zwei gleich große Datensätze $x_i$ und $y_i$ besitzen zwei unterschiedliche Mittelwerte. Die einzelnen Werte weichen jedoch jeweils genau gleich von ihrem jeweiligen Mittelwert ab (also gilt für alle Werte $\bar{x}-x_i =\bar{y}-y_i$). Dann haben diese Datensätze die gleiche Standardabweichung.“

  • Sind die einzelnen Abweichungen der Werte von ihrem jeweiligen Mittelwert sowie die Anzahl der Werte zweier Datensätze gleich, müssen sie laut Formel dieselbe Standardabweichung besitzen.