Grenzwert einer Folge – Definition

Grenzwert einer Folge – Definition Übung

• Definiere den Begriff Grenzwert.

  Tipps

  Betrachte die Folge $a_n=\frac{1}{n}$. Setze für $n$ immer größere natürliche Zahlen ein. Was fällt dir auf?

  „konvergieren“ kommt aus dem Lateinischen „convergere“ für „sich einander annähern“.

  Lösung

  Folgen kommt in der Mathematik eine sehr zentrale Bedeutung zu.

  Wenn du dir die Folge $a_n=\frac{1}{n}$ anschaust, kannst du feststellen, dass die Folgeglieder immer näher an 0 liegen werden, je größer du n wählst.

  Ein solches Verhalten wird als Konvergenz bezeichnet.

  Dieses „immer näher an 0 liegen“ kann anschaulich so erklärt werden, dass ein $\epsilon$-Schlauch um 0 gelegt werden kann. Ab einem gewissen Index N liegen dann alle Folgeglieder in diesem Schlauch.

  Definition: Eine Zahl $g\in \mathbb{R}$ heißt Grenzwert einer Folge $a_n$, falls es für alle $\epsilon>0$ einen Index $N\in \mathbb{N}$ gibt, sodass für alle Folgenglieder $a_n$ mit $n≥N$ gilt: $|a_n-g|<\epsilon$.

  Falls ein solcher, endlicher Grenzwert existiert, heißt die Folge konvergent, man spricht von Konvergenz. Andernfalls heißt die Folge divergent.

  Im Falle der Konvergenz schreibt man:

  $\lim\limits_{n \to \infty} a_n=g$.

• Gib an, ab welchem minimalen Index die Folgenglieder in dem $\epsilon$-Schlauch liegen.

  Tipps

  Zeichne dir die ersten Folgenglieder in ein Koordinatensystem. Du erkennst, dass diese sich an den Grenzwert 2 annähern.

  Der $\epsilon$-Schlauch steht anschaulich dafür, wie nah die Folgenglieder an dem Grenzwert liegen.

  Der Abstand wird durch den Term „$|a_n-g|$“ beschrieben.

  Setze für die Folge $a_n$ und den Grenzwert g konkrete Werte in die Ungleichung $|a_n-g|<\epsilon$ ein und löse nach n auf.

  Lösung

  Die Folge $a_n=\frac{2n-1}{n}$ hat die ersten Folgeglieder $a_1=1$, $a_2=\frac{3}{2}$, $a_3=\frac{5}{3}$, $a_4=\frac{7}{4}$, ...

  Diese Folgenglieder scheinen sich dem Grenzwert 2 anzunähern.

  Nun können wir überprüfen, ob für $\epsilon=0,05$ ein Index existiert, ab welchem alle Folgenglieder in dem $\epsilon$-Schlauch liegen:

  $|a_n-g|=\left |\frac{2n-1}{n}-2\right |=\left |-\frac{1}{n}\right |=\frac{1}{n}$.

  Also muss gelten

  $\frac{1}{N}<0,05 ~\Leftrightarrow~N>20$.

  Also ab dem Index $n>20$ liegen alle Folgenglieder $a_n$ in dem $\epsilon$-Schlauch für $\epsilon=0,05$.

• Ermittle die Grenzwerte g der Folgen $a_n$.

  Tipps

  Berechne zu jeder der vier Folgen einige Folgenglieder, bis du einen Grenzwert erkennen kannst.

  Jede der vier Folgen konvergiert, das heißt, sie hat einen Grenzwert. Gegebenenfalls kannst du es auch mit größeren Zahlen als Index versuchen.

  Lösung

  Du kannst zu jeder der Folgen einige Folgenglieder berechnen:

  • $a_n=2$ ist eine konstante Folge: Unabhängig davon, was du für $n$ einsetzt, kommt immer 2 heraus. Dann ist auch der Grenzwert $g=2$.
  • $a_n=\frac{2}{n+1}$: $a_1=\frac{2}{1+1}=1$, $a_2=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$, $a_3=\frac{2}{3+1}=\frac{1}{2}$, $a_1=\frac{2}{4+1}=\frac{2}{5}$ ... Du kannst erkennen, dass der Zähler immer 2 ist und der Nenner immer größer wird. Also ist $g=0$.
  • $a_n=\frac{3n}{n+1}$: $a_1=\frac{3}{1+1}=\frac{3}{2}$, $a_2=\frac{3\cdot2}{2+1}=2$, $a_3=\frac{3\cdot3}{3+1}=\frac{9}{4}$, ..., $a_{10}=\frac{3\cdot10}{10+1}≈2,73$, ..., $a_{100}=\frac{3\cdot100}{100+1}≈2,97$. Der Grenzwert ist 3.
  • $a_n=\frac{n-1}{n+2}$: $a_1=\frac{1-1}{1+2}=0$, $a_2=\frac{2-1}{2+2}=\frac{1}{4}$, ..., $a_{10}=\frac{10-1}{10+2}=0,75$, ..., $a_{100}=\frac{100-1}{100+2}≈0,97$. Der Grenzwert ist 1.

  Du kannst durch Einsetzen von verschiedenen $n$ eine Vermutung über den Grenzwert aufstellen. Dass dieser tatsächlich der Grenzwert ist, weist du über die Definition nach.

  Zur Berechnung von Grenzwerten gibt es auch Rechenregeln.

• Entscheide, ob die Folgen konvergent oder divergent sind.

  Tipps

  Berechne einige Folgenglieder und prüfe, ob eine Annäherung an einen Grenzwert erkennbar ist. Gegebenenfalls setze für n auch sehr große Zahlen ein.

  Divergenz bedeutet, dass kein Grenzwert existiert. Die Folge ist nicht konvergent im Sinne der Definition.

  Die Folge könnte auch gegen $±\infty$ gehen. Hier spricht man von einem uneigentlichen Grenzwert.

  Lösung

  Definition: Eine Zahl $g\in \mathbb{R}$ heißt Grenzwert einer Folge $a_n$, falls es für alle $\epsilon>0$ einen Index $N\in \mathbb{N}$ gibt, sodass für alle Folgenglieder $a_n$ mit $n≥N$ gilt: $|a_n-g|<\epsilon$.

  Falls ein solcher, endlicher Grenzwert existiert, heißt die Folge konvergent, man spricht von Konvergenz. Andernfalls heißt die Folge divergent.

  1. $\lim\limits_{n \to \infty}a_n=0$.
  2. $\lim\limits_{n \to \infty}c_n=4$.
  3. $\lim\limits_{n \to \infty}e_n=5$. Dies ist eine konstante Folge.
  4. Bei der Folge $b_n$ wechseln die Folgenglieder immer von 1 zu -1, je nachdem, ob der Index gerade oder ungerade ist. Eine solche Folge nennt man alternierend. Sie ist divergent.
  5. Bei den beiden übrigen Folgen werden die Folgenglieder immer größer. Sie sind also divergent.

• Berechne die ersten vier Folgenglieder der Folge $b_n$.

  Tipps

  Beim Berechnen der Folgenglieder musst du den Index n in der Folgenvorschrift einsetzen.

  Zum Beispiel ist bei $a_n=\frac{1}{n}$ das siebte Folgeglied durch $a_7=\frac{1}{7}$ gegeben.

  Lösung

  Beim Berechnen der Folgenglieder musst du den Index n in der Folgenvorschrift einsetzen.

  Die Folge $b_n=1+n$ hat die ersten vier Folgenglieder $a_1=1+1=2$, $a_2=1+2=3$, $a_3=1+3=4$ und $a_4=1+4=5$. Die Folgenglieder werden immer größer und die Folge hat den uneigentlichen Grenzwert $\infty$.

• Weise nach, dass die Folge $a_n$ konvergent ist.

  Tipps

  Sei $a_n$ die Folge. Dann ist g der Grenzwert der Folge, wenn für alle $\epsilon>0$ gilt, dass ein Index $N \in \mathbb{N}$ existiert, sodass für alle $n≥N$ die Ungleichung $|a_n-g|<\epsilon$ gilt.

  Überprüfe, dass der Abstand zwischen $a_n$ und g gerade $\frac{4}{3+n^2}$ beträgt.

  Löse die Ungleichung $|a_n-g|<\epsilon$ nach n auf.

  Lösung

  Du kannst einige Folgenglieder ausrechnen: $a_1=0$, $a_2=\frac{3}{8}$, ..., $a_{10}≈0,96$, $a_{100}≈1$.

  Die Folgenglieder nähern sich der 1 an.

  Um nachzuweisen, dass 1 auch der Grenzwert der Folge $a_n$, muss für alle $\epsilon>0$ gelten, dass ein Index $N \in \mathbb{N}$ existiert, sodass für alle $n≥N$ die Ungleichung $|a_n-g|<\epsilon$ gilt.

  Wir berechnen: $|a_n-g|=\left | \frac{n^2-1}{3+n^2} - 1 \right | = \left | \frac{n^2-1-(3+n^2)}{3+n^2} \right | = \left | \frac{-4}{3+n^2} \right | = \frac {4}{3+n^2}$.

  Für $N \in \mathbb{N}$ muss gelten

  \begin{align*} \frac{4}{3+N^2}&<\epsilon &|& :\epsilon~~\cdot (3+N^2) \\ \frac{4}{\epsilon}&<3+N^2 &|& -3\\ \frac{4}{\epsilon}-3&<N^2 &|& \sqrt{}\\ \sqrt{\frac{4}{\epsilon}-3}&<N \end{align*}.

  Für $\epsilon=0,01$ ergibt sich somit $N>\sqrt{\frac{4}{0,01}-3}≈19,92$; also muss $N=20$ sein.

  Ebenso ergibt sich für $\epsilon=0,001$ $N>\sqrt{\frac{4}{0,001}-3}≈63,22$; also muss $N=64$ sein.