Lineare Funktionsgraphen – Punktprobe

Lineare Funktionsgraphen – Punktprobe Übung

• Gib Punkte an, die auf dem linearen Funktionsgraphen liegen.

  Tipps

  Zwei der vier Punkte liegen auf dem Funktionsgraphen.

  $P(2\vert 5)$ bedeutet:

  • $2$ Schritte nach rechts
  • $5$ Schritte nach oben

  Lösung

  Ein Koordinatensystem ist ein mathematisches System, in dem mithilfe von Koordinaten die Lage eines Punktes bestimmt werden kann. Ein Punkt wird mit einer $x$-Koordinate und einer $y$-Koordinate angegeben.
  Wichtig ist, dass du die Reihenfolge der Koordinaten nicht vertauschst: Wir gehen vom Nullpunkt $(0\vert 0)$ immer zuerst nach rechts/links ($x$-Koordinate) und dann nach oben/unten ($y$-Koordinate).

  Ob ein Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt, kannst du zeichnerisch überprüfen, indem du den Punkt und die Gerade in ein Koordinatensystem einzeichnest.
  Oben siehst du den Graphen der linearen Funktion. Wir überprüfen die Lage der Punkte:

  • $A(1\vert3)$ befindet sich zu weit oben und damit nicht auf dem Graphen.
  • $\color{#99CC00}{B(1\vert0)}$ liegt genau dort, wo die Gerade die $x$-Achse schneidet und somit auf dem Graphen.
  • Der Punkt $\color{#99CC00}{C(3\vert{-}3)}$ befindet sich ebenfalls auf dem Graphen, der genau durch diesen Punkt verläuft.
  • $D(0\vert2)$ liegt oberhalb des Graphen, der die $y$-Ache circa bei $(0\vert1{,}5)$ schneidet, und somit nicht auf dem Graphen.

  
  Die Lage der Punkte zeichnerisch zu prüfen, kann dir helfen, für einzelne Punkte direkt festzustellen, ob sich diese auf dem Graphen befinden oder nicht. Die Methode ist allerdings nicht sehr genau. Das merkst du besonders, wenn ein Punkt nahe am Graphen liegt. Beispielsweise wäre aus der Zeichnung nur schwer zu erkennen, ob sich der Punkt $P(1{,}6\vert{-}1)$ auf dem Graphen befindet. Eine exakte Antwort auf die Frage, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt oder nicht, erhältst du, wenn du das rechnerisch überprüfst.

• Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt $A$ auf dem Funktionsgraphen liegt.

  Tipps

  Beispiel:

  $P (7 \vert 2)$

  Die $7$ setzt du für das $x$ ein und die $2$ setzt du für das $y$ ein.

  Es gilt: Punkt vor Strich!

  Lösung

  Eine Punktprobe ist eine Überprüfung, ob ein bestimmter Punkt auf einem Funktionsgraphen liegt. Das kannst du zeichnerisch sowie rechnerisch ermitteln.
  Zeichnerisch bedeutet, dass du den Punkt sowie den Funktionsgraphen in ein Koordinatensystem zeichnest und dann schaust, ob sich der Punkt auf der Geraden befindet.
  Ein exaktes Ergebnis erhältst du, wenn du die Punktprobe rechnerisch durchführst. Denn die Koordinaten jedes Punktes, der auf dem Graphen einer Funktion liegt, erfüllen auch die Funktionsgleichung. Dabei gehst du folgendermaßen vor:

  1. Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzen:

  $A(4\vert 9)$ in $y = 2x + 3$
  $\color{#99CC00}{\mathbf{9}} \color{black}{~= 2~\cdot~} \color{#99CC00}{\mathbf{4}} \color{black}{~+~3}$

  2. Vereinfachen:

  $9 =~\color{#99CC00}{\mathbf{8}} \color{black}{~+~3}$
  $9 =~\color{#99CC00}{\mathbf{11}}$

  3. Überprüfen, ob Gleichung erfüllt ist:

  $9~\color{#99CC00}{\mathbf{\neq}} \color{black}{~11}$

  $\Rightarrow$ Der Punkt $A$ liegt nicht auf dem Funktionsgraphen, da das Einsetzen der Koordinaten eine falsche Aussage liefert.

• Entscheide, ob die Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion liegen oder nicht.

  Tipps

  Beispiel:

  $P (7\vert2)$

  Die $7$ setzt du für das $x$ ein, die $2$ setzt du für das $y$ ein.

  Zwischen dem $x$ und der Zahl davor steht ein verstecktes Malzeichen.
  $1,\!5x$ bedeutet also:

  $1,\!5 \cdot x$

  Lösung

  Du hast zwei Möglichkeiten für die sogenannte Punktprobe, also um zu überprüfen, ob ein Punkt $P$ auf dem Graphen einer Funktion liegt:

  • Du kannst den Funktionsgraphen und den Punkt in ein Koordinatensystem einzeichnen und siehst so, ob er sich auf dem Graphen befindet oder nicht.
  • Exakter ist es, rechnerisch zu prüfen, ob die Koordinaten des Punktes die Funktionsgleichung erfüllen.

  Wir setzen im Folgenden die Koordinaten der Punkte in die Funktionsgleichung $y = 1,\!5x - 5$ ein:

  1. Punkt: $A(-1\vert{-}8)$

  $\begin{array}{rrcl} & -8 &=& -1 \cdot 1,\!5 - 5 \\ \Leftrightarrow & -8 &=& -7,\!5 \end{array}$
  $\rightarrow$ Das stimmt nicht, $A$ liegt also nicht auf dem Graphen.

  2. Punkt: $B(1\vert{-}3,\!5)$

  $\begin{array}{rrcl} &-3,\!5 &=& 1 \cdot 1,\!5 - 5 \\ \Leftrightarrow & -3,\!5 &=& -3,\!5 \end{array}$
  $\rightarrow$ Das stimmt, $B$ liegt demnach auf dem Graphen.

  3. Punkt: $C(4\vert1)$

  $\begin{array}{rrcl} &1 &=& 4 \cdot 1,\!5 - 5 \\ \Leftrightarrow & 1 &=& 1 \end{array}$
  $\rightarrow$ Das stimmt, $C$ liegt folglich auf dem Graphen.

  4. Punkt: $D(2\vert2)$

  $\begin{array}{rrcl} &2 &=& 2 \cdot 1,\!5 - 5 \\ \Leftrightarrow & 2 &=& -2 \end{array}$
  $\rightarrow$ Das stimmt nicht, $D$ liegt also nicht auf dem Graphen.

  5. Punkt: $E(5\vert2,\!5)$

  $\begin{array}{rrcl} &2,\!5 &=& 5 \cdot 1,\!5 - 5 \\ \Leftrightarrow & 2,\!5 &=& 2,\!5 \end{array}$
  $\rightarrow$ Das stimmt, $E$ liegt demnach auf dem Graphen.

  6. Punkt: $F(1\vert{-}3)$

  $\begin{array}{rrcl} &-3 &=& 1 \cdot 1,\!5 - 5 \\ \Leftrightarrow & -3 &=& -3,\!5 \end{array}$
  $\rightarrow$ Das stimmt nicht, $F$ liegt folglich nicht auf dem Graphen.

• Begründe rechnerisch, ob die Punkte auf den Funktionsgraphen liegen.

  Tipps

  Beispiel:

  $P (7 \vert 2)$

  Die $7$ setzt du für das $x$ ein und die $2$ setzt du für das $y$ ein.

  Es gilt: Punkt vor Strich!

  Beispiele:

  $3 = 3$ $\Rightarrow$ Punkt liegt auf der Geraden.

  $3 = 5$ $\Rightarrow$ Punkt liegt nicht auf der Geraden.

  Lösung

  Um zu überprüfen, ob ein Punkt auf einem Funktionsgraphen liegt, gehst du nach dieser Reihenfolge vor:

  • Koordinaten des Punktes $(x \vert y)$ in die Funktionsgleichung einsetzen
  • vereinfachen / Gleichung berechnen: Es gilt: Punkt vor Strich!
  • überprüfen, ob die Gleichung erfüllt ist

  Steht rechts und links jeweils die gleiche Zahl, ist die Gleichung erfüllt und der Punkt liegt auf dem Graphen.
  Stehen rechts und links verschiedene Zahlen, ist die Gleichung nicht erfüllt und der Punkt liegt nicht auf dem Graphen.

  1. Punkt:

  $\begin{array}{lllll} y & = & 2 x & + & 3 \qquad \qquad A (1\vert5)\\ 5 & = & \color{#99CC00}{2} & \color{black}{+} & 3 \\ 5 & = & \color{#99CC00}{5} \end{array}$

  2. Punkt:

  $\begin{array}{lllll} y & = & 3 x & + & 4 \qquad \qquad B (2\vert9) \\ 9 & = & \color{#99CC00}{6} & \color{black}{+} & 4 \\ 9 & = & \color{#99CC00}{10} \end{array}$

  3. Punkt:

  $\begin{array}{lllll} y & = & -2 x & + & 1 \qquad \quad C (1\vert\color{black}{2})\\ \color{#99CC00}{2} & = & \color{#99CC00}{-2} & + & 1 \\ \color{#99CC00}{2} & = & \color{#99CC00}{1} \end{array}$

  4. Punkt:

  $\begin{array}{lllll} y & = & 3 \color{black}{x} & - & 4 \qquad \qquad D (3\vert5)\\ \color{#99CC00}{5} & = & \color{#99CC00}{9} & \color{black}{-} & 4 \\ \color{#99CC00}{5} & = & \color{#99CC00}{5} \end{array}$

  Da das Einsetzen in die Gleichung für die Punkte $\color{#99CC00}{A}$ und $\color{#99CC00}{D}$ aufgeht, liegen diese beiden Punkte auf den Funktionsgraphen der gegebenen Geraden.

• Skizziere lineare Funktionsgraphen.

  Tipps

  Es gibt drei richtige Lösungen.

  Ein linearer Funktionsgraph wird immer durch eine Gerade dargestellt.

  Lösung

  Eine Funktion kann immer mit einem Funktionsgraphen (= Schaubild) dargestellt werden.

  Es gibt verschiedene Funktionen, zum Beispiel:

  • lineare Funktionen
  • quadratische Funktionen
  • Exponentialfunktionen

  
  

  Lineare Funktionen erkennst du ganz leicht. Denn ihre Graphen sind immer eine Gerade (siehe obiges Bild), also eine Linie, die du mit dem Lineal zeichnen kannst, die jedoch theoretisch unendlich lang ist.
  Dabei ist es egal, ob die Gerade steigt (lila) oder fällt (orange). Sogar eine waagrechte Gerade (hellgrün) ist eine lineare Funktion.

• Ermittle, welcher Punkt auf welchem Funktionsgraphen liegt.

  Tipps

  Setze den ersten Punkt in die erste Funktionsgleichung ein und rechne dann die rechte Seite der Gleichung aus.
  Ist die Gleichung nicht erfüllt, probierst du es mit dem nächsten Punkt.

  Beispiel:

  $y = 5 \cdot x + 2 \qquad \qquad A(1\vert 10)$
  $10 = 5 \cdot 1 + 2$
  $10 = 7$

  Lösung

  Um zu überprüfen, ob ein Punkt auf einem Funktionsgraphen liegt, gehst du nach dieser Reihenfolge vor:

  • Koordinaten des Punktes $(x \vert y)$ in die Funktionsgleichung einsetzen
  • vereinfachen / Gleichung berechnen: Es gilt: Punkt vor Strich!
  • überprüfen, ob die Gleichung erfüllt ist

  Steht rechts und links jeweils die gleiche Zahl, ist die Gleichung erfüllt und der Punkt liegt auf dem Graphen.
  Stehen rechts und links verschiedene Zahlen, ist die Gleichung nicht erfüllt und der Punkt liegt nicht auf dem Graphen.

  1. Paar:

  $y = 4x + 6$ und $\color{#99CC00}{C (1\vert 10)}$, denn:

  $\begin{array}{lllll} 10 & = & 4 \cdot 1 & + & 6 \\ 10 & = & 4 & + & 6 \\ 10 & = & 10 & \end{array}$

  2. Paar:

  $y = -3 x + 1$ und $\color{#99CC00}{D (-2 \vert 7)}$, denn:

  $\begin{array}{lllll} 7 & = & -3 \cdot (-2) & + & 1 \\ 7 & = & 6 & + & 1 \\ 7 & = & 7 & \end{array}$

  3. Paar:

  $y = \dfrac{1}{2} x + 5$ und $\color{#99CC00}{A (-2\vert 4)}$, denn:

  $\begin{array}{lllll} 4 & = & \dfrac{1}{2} \cdot (-2) & + & 5 \\ 4 & = & -1 & + & 5 \\ 4 & = & 4 & \end{array}$

  4. Paar:

  $y = - \dfrac{3}{4} x + 3$ und $\color{#99CC00}{B (4\vert 0)}$, denn:

  $\begin{array}{lllll} 0 & = & - \dfrac{3}{4} \cdot 4 & + & 3 \\ 0 & = & -3 & + & 3 \\ 0 & = & 0 & \end{array}$