Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen – Definition

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen – Definition Übung

• Gib die Lösung des Gleichungssystems an.

  Tipps

  Für eine lineare Gleichung $y=m \cdot x + b$ gilt:

  • $m$ ist die Steigung.
  • $b$ ist der $y$-Achsenabschnitt.

  Du kannst die Gleichungen nach $y$ auflösen, um sie dir als Gerade im Koordinatensystem zu veranschaulichen.

  Beispiel zum Umstellen einer Gleichung nach $y$:

  $\begin{array}{rrlll} 3x+6y & = & 6 & |-3x \\ 6y & = & -3x+6 & |:6 & \\ y &= & -0,5x+1 & & \\ \end{array}$

  Lösung

  Für eine lineare Gleichung $y=m \cdot x + b$ gilt:

  • $m$ ist die Steigung.
  • $b$ ist der $y$-Achsenabschnitt.

  Wir lösen zunächst beide Gleichungen nach $y$ auf:

  $\text{I}:~~$ $\begin{array}{llll} 4x+4y& = &16 & |-4x \\ 4y& = &-4x+16 & |:4 \\ y& = &-x+4 & \\ \end{array}$

  $\text{II}:~~$ $\begin{array}{llll} 2y& = &-2x+8 & |:2 \\ y& = &-x+4 & \\ \end{array}$

  Wir vergleichen die beiden Funktionsgleichungen:

  $\text{I}:~~~y=-x+4$
  $\text{II}:~~y=-x+4$

  Dabei stellen wir fest, dass beide Funktionsgleichungen identisch sind. Wir können sie auch schreiben als:
  $y=-1 \cdot x+4$

  Somit können wir ablesen, dass die Steigung $-1$ und der $y$-Achsenabschnitt $4$ ist.
  Da beide Gleichungen identisch sind, liegen die zugehörigen Geraden übereinander und haben unendlich viele gemeinsame Punkte.

  Das lineare Gleichungssystem hat somit unendlich viele Lösungen.

• Vervollständige den Text zu linearen Gleichungssystemen.

  Tipps

  $3x+4y=14$ ist eine lineare Gleichung mit zwei Variablen.

  Können wir das Gleichungssystem durch zwei Geraden darstellen, die sich in einem Punkt schneiden, so ist dieser Schnittpunkt die einzige Lösung des Gleichungssystems.

  Lösung

  Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen Gleichungen.

  Lineare Gleichungen:
  Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen kann zum Beispiel so aussehen:
  $4x+2y=6$
  $x$ und $y$ sind hierbei die Variablen.
  Eine solche lineare Gleichung hat immer mehrere Lösungen.
  Wir können die Gleichung als Gerade im Koordinatensystem darstellen. Dazu lösen wir die Gleichung nach $y$ auf:
  $y=-2x+3$
  Alle Wertepaare $(x\vert y)$, welche Lösung der Gleichung sind, liegen als Punkte auf der Geraden.

  Lineare Gleichungssysteme:
  Ein lineares Gleichungssystem, welches aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen besteht, kann eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben. Welcher der drei Fälle vorliegt, können wir erkennen, wenn wir die Lösung des Gleichungssystems graphisch darstellen. Dazu lösen wir wieder beide Gleichungen nach $y$ auf. Die linearen Funktionsgleichungen, die wir so erhalten, zeichnen wir dann als Geraden in ein Koordinatensystem.

  Wir unterscheiden:

  • Fall 1: Die beiden Geraden schneiden sich. Das zugehörige Gleichungssystem hat genau eine Lösung. Der Schnittpunkt stellt die Lösung dar.
  • Fall 2: Die beiden Geraden verlaufen parallel zueinander. Das zugehörige Gleichungssystem hat keine Lösung, da sich die beiden Geraden nicht schneiden.
  • Fall 3: Die beiden Geraden liegen übereinander. Das zugehörige Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, da beide Geraden unendlich viele gemeinsame Punkte haben.

• Überprüfe, ob das lineare Gleichungssystem eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat.

  Tipps

  Schreibe beide Gleichungen so um, dass du sie als Funktionsgleichung einer linearen Funktion interpretieren kannst.

  Lösung

  Wir lösen zunächst die erste Gleichung nach $y$ auf:

  $\text{I}:~~8x+2y=10$

  $\begin{array}{llll} 8x+2y& = &10 & |-8x \\ 2y& = &-8x+10 & |:2 \\ y& = &-4x+5 & \\ \end{array}$

  Die zweite Gleichung ist schon nach $y$ aufgelöst.

  Wir vergleichen die beiden Funktionsgleichungen:

  $\text{I}:~~~y=-4x+5$
  $\text{II}:~~y=-4x+3$

  Beide Gleichungen haben die gleiche Steigung, nämlich $-4$.
  Die erste Gleichung hat den $y$-Achsenabschnitt $3$, die zweite Gleichung hat den $y$-Achsenabschnitt $5$.
  Die beiden Geraden verlaufen also parallel zueiander und haben keinen Schnittpunkt. Somit hat das Gleichungssystem keine Lösung.

• Entscheide, welche Graphen das lineare Gleichungssystem veranschaulichen.

  Tipps

  Forme zunächst beide Gleichungen nach $y$ um.

  Wenn die beiden linearen Funktionen eine unterschiedliche Steigung haben, so schneiden sich die Graphen in einem Punkt.

  Wenn die beiden linearen Funktionen die gleiche Steigung haben und einen unterschiedlichen y-Achsenabschnitt, so verlaufen die Graphen parallel zueinander.

  Wenn die beiden linearen Funktionen die gleiche Steigung und den gleichen y-Achsenabschnitt haben, so sind die Graphen identisch.

  Lösung

  Wir lösen zunächst beide Gleichungen nach $y$ auf:

  $\text{I}:~~$$\begin{array}{llll} 6y-4x& = &6 & |+4x \\ 6y& = &4x+6 & |:6 \\ y& = &\frac{2}{3}x+1 & \\ \end{array}$

  $\text{II}:~~\begin{array}{llll} 3y& = &2x & |-:3 \\ y& = &\frac{2}{3}x & \\ \end{array}$

  Wir vergleichen nun die beiden Funktionsgleichungen:

  $\text{I}:~~~y=\frac{2}{3}x+1$
  $\text{II}:~~y=\frac{2}{3}x$

  Beide Gleichungen haben die gleiche Steigung, nämlich $\frac{2}{3}$. Daher steigen beide Geraden und sind parallel zueinander.
  Die erste Gleichung hat den $y$-Achsenabschnitt $1$. Dies entspricht der roten Gerade im letzten Bild. Die zweite Gleichung hat den $y$-Achsenabschnitt $0$, die Gerade verläuft also durch den Ursprung. Dies entspricht der grünen Geraden im letzten Bild.

  In Bild $1$ und $3$ sind die Geraden nicht parallel. Sie passen also nicht zu dem gegebenen Gleichungssystem.
  In Bild $2$ sind die beiden Geraden fallend, sie haben also eine negative Steigung, und passen somit auch nicht zu dem gegebenen Gleichungssystem.

• Gib an, ob die gegebenen Wertepaare Lösungen der Gleichung sind.

  Tipps

  Wenn du die Werte für $x$ und $y$ einsetzt, dann kannst du überprüfen, ob die Gleichung stimmt.

  $x=3$ und $y=2$ sind Lösung der Gleichung $3x-4y=1$, weil gilt:

  $3\cdot 3 - 4 \cdot 2 = 9-8=1$

  Lösung

  Wir ermitteln, ob die gegebenen Werte Lösungen der Gleichung sind, indem wir die Zahlen für $x$ und $y$ in die Gleichung einsetzen und überprüfen, ob die Gleichung stimmt:

  $x=1$ und $y=0$:

  $\begin{array}{rrr} 4x-2y & = & 4 & \\ 4 \cdot 1-2 \cdot 0 & = & 4 & \\ 4-0 & = & 4 & \\ 4 & = & 4 & \\ \end{array}$

  Die beiden Werte sind eine Lösung der Gleichung.

  $x=2$ und $y=2$

  $\begin{array}{rrr} 4x-2y & = & 4 & \\ 4 \cdot 2-2 \cdot 2 & = & 4 & \\ 8-4 & = & 4 & \\ 4 & = & 4 & \\ \end{array}$

  Die beiden Werte sind eine Lösung der Gleichung.

  $x=5$ und $y=0$:

  $\begin{array}{rrr} 4x-2y & = & 4 & \\ 4 \cdot 5-2 \cdot 0 & \neq & 4 & \\ 20-0 & \neq & 4 & \\ 20 & \neq & 4 & \\ \end{array}$

  Die beiden Werte sind keine Lösung der Gleichung.

  $x=3$ und $y=4$

  $\begin{array}{rrr} 4x-2y & = & 4 & \\ 4 \cdot 3-2 \cdot 4 & = & 4 & \\ 12-8 & = & 4 & \\ 4 & = & 4 & \\ \end{array}$

  Die beiden Werte sind eine Lösung der Gleichung.

• Erstelle ein lineares Gleichungssystem zu der Situation und löse es.

  Tipps

  Lege zuerst fest, wofür die Variablen $x$ und $y$ stehen.
  Lies dazu nach, welche Größen gesucht sind.

  Jede Aussage im Aufgabentext kannst du durch eine mathematische Gleichung ausdrücken.

  Beachte, dass jedes Kaninchen $4$ Beine und jede Gans $2$ Beine hat.

  Lösung

  Wir ordnen zuerst die Variablen zu:

  • $x$: Anzahl der Kaninchen
  • $y$: Anzahl der Gänse

  (x und y können auch vertauscht sein)

  Wir wissen, dass ein Kaninchen $4$ Beine hat und eine Gans $2$. Daher haben $x$ Kaninchen $4 \cdot x$ und $y$ Gänse $2 \cdot y$ Beine. Zusammen sind das dann $4x + 2y$ Beine. Wir wissen außerdem, dass insgesamt $36$ Beine durch das Gehege laufen. Somit gilt:

  $\text{I}:~~~4x+2y=36$

  Die Gesamtanzahl der Tiere drückt der Term $x+y$ aus. Insgesamt sind es $13$ Tiere. Somit gilt:

  $\text{II}:~~x+y=13$

  Das Gleichungssystem lautet:

  $\text{I}:~~~4x+2y=36$
  $\text{II}:~~x+y=13$

  Wir betrachten noch die Lösung:

  Es gibt $5$ Kaninchen und $8$ Gänse, also $x=5$ und $y=8$.

  Dieses Wertepaar erfüllt beide Gleichungen:

  $\text{I}:~~~4\cdot 5 + 2 \cdot 8 = 20 + 16 =36$
  $\text{II}:~~5+8=13$

  Außerdem ist es der Schnittpunkt der beiden linearen Funktionen $y = -x + 13$ und $y = -2x + 18$, die sich ergeben, wenn wir beide Gleichungen nach $y$ auflösen.