Grenzwerte von Funktionen für x → xₒ – Termumformung

Grenzwerte von Funktionen für x → xₒ – Termumformung Übung

• Berechne den Grenzwert von $f(x)=\frac{x^2-1}{x+1}$ für $x\to x_0$ und Definitionslücke $x_0$.

  Tipps

  Suche die Stelle $x_0$, für die die Funktion nicht definiert ist.

  Die binomischen Formel lauten:

  \begin{align*} \text{1. } &(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\ \text{2. } &(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\ \text{3. } &(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2. \end{align*}

  Wenn ein endlicher Grenzwert existiert, kann der Nenner gekürzt werden.

  Lösung

  Bei der Termumformung muss zunächst einmal das $x_0$, also die Definitionslücke, bestimmt werden.

  An einer Definitionslücke ist eine Funktion nicht definiert. In diesem Beispiel ist das Teilen durch 0 nicht erlaubt. Wenn also der Nenner 0 ist, so ist die Funktion nicht definiert. Also ist $x_0=-1$.

  Wie verhält sich die Funktion an der Definitionslücke? Oder anders gefragt: Gibt es einen Grenzwert an der Definitionslücke?

  Im Zähler steht $x^2-1$, also die rechte Seite der 3. binomischen Formel $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$. Hier ist $a=x$ und $b=1$.

  Somit kann der Nenner gekürzt werden:

  $\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)\cdot (x-1)}{x+1}=x-1$.

  Nun lässt sich der Grenzwert angeben:

  $\lim\limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x+1}=\lim\limits_{x \to -1}(x-1)=-2$.

• Bestimme die Grenzwerte der Funktionen, sofern sie vorhanden sind.

  Tipps

  Lässt sich der Term so umformen, dass der Nenner gekürzt werden kann, so handelt es sich bei $x_0$ um eine hebbare Definitionslücke, andernfalls um eine Polstelle.

  Wenn die Nennernullstelle gleichzeitig eine Zählernullstelle ist, so ist die Definitionslücke hebbar. Welche Nullstellen hat die Funktion $x\mapsto x^2-1$?

  Lösung

  Um zu überprüfen, ob ein Grenzwert an einer Definitionslücke $x_0$ existiert, kann der Term umgeformt werden. Lässt sich dann der Nenner kürzen, so ist die Definitionslücke hebbar, andernfalls ist sie eine Polstelle. An einer Polstelle gehen die Funktionswerte gegen $\pm \infty$.

  Schauen wir uns zunächst die Funktion $g(x)=\frac{-x^2+6x-9}{x-3}$ an. Der Nenner nimmt an der Stelle $x_0=3$ den Wert 0 an. Also ist dies die gesuchte Definitionslücke. Im Zähler steht die 2. binomische Formel:

  $-x^2+6x-9=-(x^2-6x+9)=-(x-3)^2$.

  Es gilt also $g(x)=-\frac{(x-3)^2}{x-3}=-(x-3)$. Damit ist der gesuchte Grenzwert

  $\lim\limits_{x\to 3} \frac{-x^2+6x-9}{x-3}= \lim\limits_{x\to 3}-(x-3)=0$.

  Man hätte hier auch eine Polynomdivision durchführen können.

  Zu $h(x)=\frac{x^2-1}{x-2}=\frac{x^2-4+3}{x-2}=\frac{(x+2)\cdot (x-2)+3}{x-2}=x+2+\frac3{x-2}$. Hier wurde die 3. binomische Formel verwendet: $x^2-4=(x+2)\cdot (x-2)$.

  Bei der Grenzwertuntersuchung geht der erste Term $x+2$ gegen eine feste Zahl, und zwar 4. Der zweite Term wird jedoch im Betrag immer größer, da im Zähler eine feste Zahl steht und der Term im Nenner immer näher gegen 0 geht.

  Somit liegt bei $x_0=2$ eine Polstelle vor. Das heißt, dass die Funktionswerte gegen $\pm \infty$ gehen.

  $\lim\limits_{x\to 2,~x<2} \frac{x^2-1}{x-2}=„-\infty“$, da der Term im Nenner negativ ist, sowie

  $\lim\limits_{x\to 2,~x>2} \frac{x^2-1}{x-2}=„\infty“$, da der Term im Nenner positiv ist.

• Untersuche, ob die Funktion $f(x)=\frac{x^2+1}{x+1}$ eine Polstelle hat.

  Tipps

  Da hier im Zähler keine binomische Formel steht, kannst du eine Polynomdivision durchführen.

  Bei der Polynomdivision bleibt ein Rest. Das heißt, dass der Nenner sich nicht kürzen lässt.

  Bei der Betrachtung des Grenzwertes genügt es, den gebrochen rationalen Teil zu betrachten, welcher bei der Polynomdivision als Rest bleibt.

  An einer Polstelle gehen die Funktionswert gegen $\pm \infty$. Es muss nur noch das Vorzeichen untersucht werden.

  Lösung

  Bei $f(x)=\frac{x^2+1}{x+1}$ ist die gesuchte Definitionslücke $x_0=-1$ und somit $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$.

  Zur Termumformung wird eine Polynomdivision durchgeführt:

  \begin{align*} & (x^2+1):(x+1)= x-1+\frac2{x+1}\\ &\underline{-(x^2+x)} \\ &~~~~~~~~~-x+1\\ &~~~~~\underline{-(-x-1)}\\ &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 2 \end{align*}

  An dem Rest kann man

  • zum einen erkennen, dass es sich bei $x_0=-1$ um eine Polstelle handelt und
  • zum anderen den Grenzwert bestimmen.

  Im Rest $\frac2 {x+1}$ geht bei der Grenzwertuntersuchung $\lim\limits_{x\to -1}$ der Nenner gegen 0. Der Term im Nenner ist negativ, wenn der linksseitige Grenzwert betrachtet wird und positiv beim rechtsseitigen Grenzwert.

  Somit ist

  $\lim\limits_{x \to -1, ~x<-1} \frac{x^2+1}{x+1}=\lim\limits_{x \to -1} x-1+\frac2{x+1}=„-\infty“$ und

  $\lim\limits_{x \to -1, ~x>-1} \frac{x^2+1}{x+1}=„\infty“$.

• Ermittle den Grenzwert von $\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$ an der Definitionslücke $x_0=4$.

  Tipps

  In diesem Beispiel muss so erweitert werden, dass im Zähler die 3. binomische Formel steht.

  Im Nenner steht nach dem Kürzen der Term $\sqrt x +2$. Damit kann der Grenzwert berechnet werden, da $\sqrt 4 +2=2+2=4$ gilt.

  Lösung

  Der Trick bei dieser Aufgabe liegt in der Anwendung der dritten binomischen Formel in der Form $(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)=x-4$. Wir gehen bei der Grenzwertbestimmung in der unten angegebenen Weise vor.

  Die Funktion $f(x)=\frac{\sqrt x -2}{x-4}$ kann erweitert werden:

  $f(x)=\frac{\sqrt x -2}{x-4}=\frac{(\sqrt x +2) \cdot (\sqrt x -2)}{(\sqrt x +2) \cdot (x-4)}$.

  Im Zähler steht die 3. binomische Formel, also gilt

  $\frac{(\sqrt x +2) \cdot (\sqrt x -2)}{(\sqrt x +2) \cdot (x-4)}=\frac{x-4}{(\sqrt x +2) \cdot (x-4)}$.

  Der Term $x-4$ kann gekürzt werden:

  $\frac{x-4}{(\sqrt x +2) \cdot (x-4)}=\frac1{\sqrt x +2}$.

  Somit kann der Grenzwert

  $\lim\limits_{x\to 4} \frac{\sqrt x -2}{x-4}=\lim\limits_{x\to 4} \frac1{\sqrt x +2}=\frac 14=0,25$

  berechnet werden.

• Beschreibe das Vorgehen bei der Bestimmung von Grenzwerten von Funktionen durch Termumformung.

  Tipps

  Berechnet werden soll der Grenzwert an einer festen Stelle $x_0$. Wofür steht dieses $x_0$?

  Betrachte das Beispiel $f(x)=\frac{x^2-1}{x+1}$. Was darf in diesem Beispiel für $x$ nicht eingesetzt werden?

  Im Nenner der Funktion $f(x)=\frac{x^2-1}{x+1}$ steht die Differenz zweier Quadrate. Wie kann man das weiter vereinfachen?

  Lösung

  Das allgemeine Vorgehen bei der Bestimmung von Grenzwerten von Funktionen durch Termumformung sieht wie folgt aus:

  1. Bestimmen des Definitionsbereiches $\mathbb{D}$ und einer Definitionslücke $x_0$.
  2. Es soll der Grenzwert der Funktion $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ bestimmt werden.
  3. Umformen des Terms f(x) durch binomische Formeln oder Polynomdivision.
  4. Angabe des Grenzwertes.

• Untersuche das Grenzwertverhalten der Funktion $f(x)=\frac{x^3-1}{x-1}$ an der Definitionslücke.

  Tipps

  Für welches $x$ ist $\frac{x^3-1}{x-1}$ nicht definiert?

  Führe eine Polynomdivision $(x^3-1):(x-1)$ durch.

  Lösung

  Die Definitionslücke ist $x_0=1$, da der Nenner an dieser Stelle 0 wird und somit die Funktion nicht definiert ist.

  Um den Term $\frac{x^3-1}{x-1}$ umzuformen, wird eine Polynomdivision durchgeführt:

  \begin{align*} & (x^3-1):(x-1) = x^2+x+1 \\ &\underline{-(x^3-x^2)} \\ &~~~~~~~~~x^2-1\\ &~~~~~\underline{-(x^2-x)}\\ &~~~~~~~~~~~~~~ x-1\\ &~~~~~~~~~\underline{-(x-1)}\\ &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0 \end{align*}

  Also ist sind sowohl $p$ als auch $q$ jeweils 1.

  Damit kann der Grenzwert berechnet werden:

  $\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^3-1}{x-1}=\lim\limits_{x \to 1} (x^2+x+1)=3.$