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Innenwinkel und Außenwinkel von Dreiecken

In diesem Video wird die Definition der Innen- und Außenwinkel von Dreiecken erklärt. Du lernst, wie sie zusammenhängen und wie man sie berechnen kann. Interessiert? All das und noch vieles mehr findest du im folgenden Text!

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Wie viele Innenwinkel hat ein Dreieck?

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Team Digital
Innenwinkel und Außenwinkel von Dreiecken
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Grundlagen zum Thema Innenwinkel und Außenwinkel von Dreiecken

Was ist ein Innenwinkel beim Dreieck?

Aus gleichseitigen oder gleichschenkligen Dreiecken kann man leicht Muster legen. Aber geht das auch mit unregelmäßigen Dreiecken? Um das herauszufinden, erklären wir dir in diesem Video die Innenwinkel und Außenwinkel von Dreiecken.

Innen- und Außenwinkel – Definition

Wir beginnen mit einem unregelmäßigen Dreieck. Seine drei Seiten bilden an jedem Eckpunkt einen Winkel. Diese drei Winkel nennt man die Innenwinkel des Dreiecks, weil sie im Inneren des Dreieck liegen und von den Seiten umschlossen werden.

Innenwinkel

Verlängert man eine der Seiten des Dreiecks, so entsteht an der Außenseite des Dreiecks zwischen der verlängerten Seite und der unverlängerten Dreiecksseite ein weiterer Winkel. Diesen Winkel nennt man einen Außenwinkel des Dreiecks, weil er durch die verlängerten Dreiecksseiten gebildet wird und an der Außenseite des Dreiecks anliegt. Jeder Außenwinkel ist einem zugehörigen Innenwinkel benachbart.

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Wie viele Innen- und Außenwinkel hat ein Dreieck?

An jedem Eckpunkt des Dreiecks bilden die Dreiecksseiten einen Innenwinkel. Ein Dreieck hat also drei Eckpunkte, drei Seiten und drei Innenwinkel. Verlängern wir alle Seiten eines Dreiecks, so entstehen an jedem Eckpunkt des Dreiecks zwei Außenwinkel. Insgesamt hat das Dreieck also sechs Außenwinkel.

Innenwinkel und Außenwinkel

Außerhalb des Dreiecks sind noch drei weitere Winkel zu erkennen. Sie sind keine Außenwinkel, denn sie liegen an keiner der Dreiecksseiten an. Man nennt diese Winkel Gegenwinkel, weil sie den Innenwinkeln genau gegenüberliegen. Ein anderer Name für die Gegenwinkel ist Scheitelwinkel.

Innen- und Außenwinkel berechnen

Was haben die Außenwinkel eines Dreiecks und ihre benachbarten Innenwinkel miteinander zu tun? Jeder Innenwinkel bildet mit dem zugehörigen Außenwinkel einen gestreckten Winkel. Um alle Eigenschaften der Winkel an einem Eckpunkt aufzuschreiben, benennen wir die Winkel: Den Innenwinkel nennen wir γ\gamma. Der dem Innenwinkel gegenüberliegende Winkel ist ein Scheitelwinkel von γ\gamma, er ist also genauso groß wie γ\gamma. Den Außenwinkel an der einen Dreiecksseite nennen wir γ\gamma^\prime. Der Außenwinkel an der anderen Dreiecksseite ist ein Scheitelwinkel von γ\gamma^\prime und hat daher dieselbe Winkelgröße. Alle vier Winkel zusammen ergeben den Vollwinkel. Wir können also schreiben:

γ+γ+γ+γ=360\gamma + \gamma^\prime + \gamma+\gamma^\prime = 360^\circ

Das können wir noch zusammenfassen und erhalten:

2γ+2γ=3602\gamma + 2\gamma^\prime = 360^\circ

Dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch 22, so erhalten wir:

γ+γ=180\gamma+\gamma^\prime = 180^\circ

Das bedeutet, dass jeder Innenwinkel γ\gamma zusammen mit dem zugehörigen Außenwinkel γ\gamma^\prime den gestreckten Winkel 180180^\circ ergibt. Man sagt dazu auch: Ein Außenwinkel und sein benachbarter Innenwinkel sind Nebenwinkel.

Außenwinkel berechnen – Beispiel

Außenwinkel bestimmen

In diesem Dreieck beträgt der obere Innenwinkel 110110^\circ. Den zugehörigen Außenwinkel γ\gamma^\prime können wir ausrechnen. Da die beiden Winkel Nebenwinkel voneinander sind, gilt:

110+γ=180110^\circ +\gamma^\prime = 180^\circ

Lösen wir die Gleichung nach γ\gamma^\prime auf, so erhalten wir:

γ=180110=70\gamma^\prime = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ

Innenwinkel berechnen – Beispiel

Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180180^\circ. Die Summe eines Innenwinkels und des zugehörigen Außenwinkels beträgt ebenfalls 180180^\circ. Daraus folgt: Die beiden Innenwinkel, die dem Außenwinkel nicht anliegen, bilden zusammen mit dem Außenwinkel einen gestreckten Winkel. Diesen Umstand können wir ausnutzen, um aus einem Außenwinkel und einem nicht anliegenden Innenwinkel den dritten Innenwinkel zu berechnen.

Innenwinkel und Außenwinkel bestimmen

In diesem Dreieck beträgt ein Außenwinkel 100100^\circ, und ein nicht anliegender Innenwinkel 5555^\circ. Den unbekannten Winkel α\alpha können wir nun berechnen: Der Außenwinkel ist genauso groß wie die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel:

100=55+α100^\circ =55^\circ + \alpha

Wir lösen die Gleichung nach α\alpha auf und erhalten:

α=10055=45\alpha = 100^\circ-55^\circ = 45^\circ

Das Video zu Innen- und Außenwinkeln von Dreiecken

In diesem Video werden dir Innen- und Außenwinkel in Dreiecken verständlich erklärt. Du erfährst, wie Innenwinkel und Außenwinkel miteinander zusammenhängen und wie du Innen- oder Außenwinkel bestimmen kannst. Zu diesem Video gibt es interaktive Aufgaben, in denen du dein neues Wissen gleich ausprobieren kannst.

Transkript Innenwinkel und Außenwinkel von Dreiecken

Moira ist eine Meisterin im Mosaik setzen und hat sich gerade dem Projekt "Verschönert eure Stadt" angeschlossen. Sie ist fasziniert von den Mosaiken der alten Ägypter aus farbenprächtigen Kacheln, Steinen oder Glas. Für Moira ist es ganz klar, wie man aus gleichseitigen Dreiecken ein Mosaik legen kann oder auch aus gleichschenkligen Dreiecken. Aber wie sieht es mit unregelmäßigen Dreiecken also mit beliebigen? Um das herauszufinden, müssen wir uns mit Innenwinkeln und Außenwinkeln von Dreiecken beschäftigen. Wir beginnen mit einem unregelmäßigen Dreieck und verlängern eine Seite. Diese Winkel hier nennt man Innenwinkel, weil sie auf der inneren Seite des Dreiecks liegen. Diesen Winkel hier nennt man einen Außenwinkel, weil er außerhalb der Figur, aber dennoch an einer ihrer Seiten anliegt. Außenwinkel sind benachbart zu ihren zugehörigen Innenwinkeln. Wenn wir alle Seiten des Dreiecks verlängern, erzeugen wir sechs Außenwinkel. Was ist aber mit diesen Winkeln hier? Sie liegen zwar außerhalb des Dreiecks, sind aber keine Außenwinkel, da sie an keiner Seite des Dreiecks anliegen. Aber sie liegen den Innenwinkeln gegenüber. Darum bezeichnet man sie als Gegenwinkel. Ein anderer Name dafür ist Scheitelwinkel. Was haben Außenwinkel und ihre benachbarten Innenwinkel miteinander zu tun? Um das herauszufinden, schauen wir uns eine Ecke des Dreiecks an und beschriften die Winkelgröße. Diesen Innenwinkel nennen wir Gamma. Wie groß ist also dieser gegenüberliegende Winkel hier? Ebenfalls so groß wie Gamma, denn dieser Winkel ist ein Scheitelwinkel des Innenwinkels und damit genau so groß wie dieser. Wir nennen ihn Gamma Strich. Wie groß ist dann dieser gegenüberliegende Winkel? Ebenfalls so groß wie Gamma Strich, denn er ist ein Scheitelwinkel des Außenwinkels. Zusammen ergeben die vier Winkel einen vollen Kreis. Wenn wir also Gamma plus Gamma plus Gamma Strich plus Gamma Strich rechnen, erhalten wir 360 Grad. Vereinfacht erhalten wir: 2 Gamma plus 2 Gamma Strich gleich 360 Grad. Wir könnten sogar noch weiter gehen. Fällt dir auf, dass alle Zahlen gerade sind? Wir können also die ganze Gleichung durch 2 teilen. So erhalten wir Gamma plus Gamma Strich gleich 180 Grad. Ein Außenwinkel und sein benachbarter Innenwinkel sind Nebenwinkel. Anders gesagt ist das hier ein gestreckter Winkel; also ein Winkel, dessen Halbgeraden zusammen eine Gerade bilden, und gestreckte Winkel messen immer 180 Grad. Moira hat inzwischen ein Dreieck mit einem Innenwinkel von 110 Grad skizziert. Wie groß ist dann dieser Außenwinkel, den wir Gamma Strich nennen? Wir wissen, dass diese Winkel Nebenwinkel sind, also muss 110 Grad plus Gamma Strich gleich 180 Grad ergeben. Wir lösen nach Gamma Strich auf und erhalten für den Außenwinkel eine Größe von 70 Grad. Außenwinkel und ihre benachbarten Innenwinkel ergeben zusammen also stets 180 Grad. Schauen wir uns weitere Beziehungen von Winkeln in dieser Zeichnung an. Bezogen auf diesen Außenwinkel nennen wir diese beiden Winkel nichtanliegende Innenwinkel. Wie der Name schon sagt: Beide Winkel liegen innerhalb des Dreiecks und sie liegen nicht an der gleichen Seite wie der Außenwinkel an. Schauen wir uns ihre Beziehung an, indem wir uns zuerst ins Gedächtnis rufen, wie groß die Summe aller Innenwinkel eines Dreiecks ist. Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt stets 180 Grad. Wenn wir uns die Kachel anschauen, die Moira auf Basis ihrer Zeichnung angefertigt hat, sehen wir, dass dieser 110-Grad-Winkel plus diese zwei nichtanliegenden Innenwinkel zusammen 180 Grad ergeben. Das sehen wir, wenn wir diese beiden nichtanliegenden Innenwinkel heraustrennen und sie nebeneinander platzieren. Hast du bemerkt, dass die beiden nichtanliegenden Innenwinkel zusammen genau so groß sind wie der Außenwinkel? Diesen Umstand können wir nutzen, um Winkel im Dreieck zu berechnen. Zum Beispiel Alpha in dieser Zeichnung. Wir haben hier einen Außenwinkel von 100 Grad und zwei nichtanliegende Innenwinkel mit den Größen 55 Grad und Alpha. Die Größe des Außenwinkels ist gleich der Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel, 100 Grad ist also gleich 55 Grad plus Alpha. Durch Subtraktion erhalten wir für Alpha 45 Grad. Die besonderen Beziehungen zwischen Außen- und Innenwinkeln helfen Moira dabei, ihr Mosaik zu kreieren. Aber bevor sie ihr Meisterwerk enthüllt, wiederholen wir sie noch rasch. Zunächst einmal die Namen der Winkel. Die Winkel auf der Innenseite eines Dreiecks heißen Innenwinkel. Ihre Summe beträgt stets 180 Grad. Ein Außenwinkel ist jeder Winkel, der zwischen einer Seite einer Figur und der Verlängerung einer weiteren Seite liegt. Die Summe eines Außenwinkels und seines benachbarten Innenwinkels beträgt ebenfalls 180 Grad. Für diesen Außenwinkel sind die beiden nichtanliegende Innenwinkel die Winkel, die nicht an der gleichen Seite wie der Außenwinkel anliegen. Ein Außenwinkel ist so groß wie die Summe seiner beiden nichtanliegende Innenwinkel. So der große Moment ist gekommen. Moira enthüllt ihren Beitrag für "Verschönert eure Stadt". Moira hat die Stadt wohl schon ganz durch sich selbst verschönert. Jetzt bekommen sie etwas mehr Moira, als ihnen lieb ist.

Innenwinkel und Außenwinkel von Dreiecken Übung

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