Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor – Übung

Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor – Übung Übung

• Gib an, welche Multiplikationen definiert sind.

  Tipps

  Ein Vektor hat immer nur eine Spalte.

  Was muss bei der Matrix und dem Vektor übereinstimmen, damit man deren Produkt bilden kann?

  Probiere, das Produkt zu berechnen. Wenn die Multiplikation nicht definiert ist, wirst du bei der Berechnung nicht zum Ziel gelangen.

  Lösung

  Um eine Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor ausführen zu können, muss die Spaltenanzahl der Matrix mit der Zeilenanzahl des Vektors übereinstimmen. Wir vergleichen also bei jeder Aufgabe die Spaltenanzahl der Matrix mit der Zeilenanzahl des Vektors. Sollten die Zahlen nicht übereinstimmen, so ist die Multiplikation nicht definiert.

  Betrachten wir beispielsweise diese Multiplikation:

  $\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 0 \\ 5 & 3 \\ -2 & 7 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array}\right)$

  So hat die Matrix zwei Spalten und der Vektor zwei Zeilen, also können wir das Produkt dieser Matrix mit dem gegebenen Vektor berechnen.

• Ergänze die Aussagen zur Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor.

  Tipps

  Wie groß ist die Spaltenanzahl eines Vektors stets?

  Die Multiplikation

  $\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4 & 6 \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)$

  ist nicht definiert.

  Kurzform der Berechnung: Wir multiplizieren die Paare und addieren alles auf.

  Lösung

  Das Schema der Multiplikation einer Matrix $A$ mit einem Vektor $\vec x$ ist allgemein formuliert:

  $\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a_{11}\cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \ldots + a_{1n}\cdot x_n\\ \vdots \\ a_{m1}\cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \ldots + a_{mn}\cdot x_n \end{array}\right)$

  Dabei muss die Spaltenanzahl der Matrix mit der Zeilenanzahl des Vektors übereinstimmen.

  Beispielsweise kann man eine $3\times 2$ Matrix nur mit einem $2 \times 1$ Vektor (ein Vektor enthält immer nur eine Spalte) multiplizieren.

  Die Multiplikation

  $\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4 & 6 \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)$

  wäre dagegen nicht definiert. Wie im Schema dargestellt, multiplizieren wir die jeweiligen Paare und summieren anschließend die Produkte.

• Berechne das Produkt der Matrix $A$ mit dem Vektor $\vec x$.

  Tipps

  Wie multipliziert man eine Matrix mit einem Vektor?

  Das Schema der Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor ist allgemein formuliert:

  $\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a_{11}\cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \ldots + a_{1n}\cdot x_n\\ \vdots \\ a_{m1}\cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \ldots + a_{mn}\cdot x_n \end{array}\right)$

  Lösung

  Wir multiplizieren die Matrix $A$ mit dem Vektor $\vec x$, indem wir die Elemente der entsprechenden Zeile von $A$ mit den Elementen der Spalte von $\vec x$ multiplizieren und anschließend die jeweiligen Produkte summieren. Das allgemeine Schema für die Multiplikation einer $3 \times 3$ Matrix mit einem Vektor mit drei Zeilen ist:

  $\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a_{11}\cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + a_{13} \cdot x_3\\ a_{21}\cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + a_{23} \cdot x_3 \\ a_{31}\cdot x_1 + a_{32} \cdot x_2 + a_{33} \cdot x_3 \end{array}\right)$

  Nun berechnen wir das Produkt der gegebenen Matrix mit dem gegebenen Vektor:

  $\begin{pmatrix} 6 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & -4 \\ 7 & 0 & 5 \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} 6\cdot 1 + -2 \cdot -6 + 1 \cdot 0\\ 0\cdot 1 + 3 \cdot -2 + -4 \cdot 0 \\ 7\cdot 1 + 0 \cdot -2 + 5 \cdot 0 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} 10 \\ -6 \\ 7 \end{array}\right)$

• Ermittle die Lösung der gegebenen Aufgabe.

  Tipps

  Berechne als Erstes das Produkt innerhalb der Klammer.

  Man multipliziert eine Matrix mit einem Vektor, indem man die Elemente der entsprechenden Zeile der Matrix mit den Elementen der Spalte vom Vektor multipliziert und anschließend die jeweiligen Produkte summiert.

  Lösung

  Wir berechnen als Erstes das Produkt innerhalb der Klammer und erhalten einen Vektor als Lösung. Anschließend multiplizieren wir die andere Matrix mit diesem Vektor und erhalten unser Ergebnis:

  $\begin{pmatrix} 2 & 4 & -1 \\ 0 & -3 & -6 \\ 8 & 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{pmatrix} 2,5 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 0 \\ 10 & 4 & 12 \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)\right)$

  $= \begin{pmatrix} 2 & 4 & -1 \\ 0 & -3 & -6 \\ 8 & 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \left(\left(\begin{array}{c} 2,5\cdot 2 + 3 \cdot 0 + 4\cdot (-1) \\ 3\cdot 2 + 1 \cdot 0 + 0\cdot (-1) \\ 10\cdot 2 + 4 \cdot 0 + 12\cdot (-1) \end{array} \right)\right) \\ = \begin{pmatrix} 2 & 4 & -1 \\ 0 & -3 & -6 \\ 8 & 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 6 \\ 8 \end{array}\right)$

  $= \left(\begin{array}{c} 2\cdot 1 + 4 \cdot 6 + (-1)\cdot 8 \\ 0\cdot 1 + (-3) \cdot 6 + (-6)\cdot 8 \\ 8\cdot 1 + 0 \cdot 6 + 2\cdot 8 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 18 \\ -66 \\ 24 \end{array}\right)$

• Bestimme, welche Rechnung die richtige Multiplikation der Matrix $A$ mit dem gegebenen Vektor angibt.

  Tipps

  Was muss gelten, damit man eine Matrix mit einem Vektor multiplizieren kann?

  Erhält man eine Matrix oder einen Vektor als Ergebnis?

  Kurzform der Berechnung: Wir multiplizieren die Paare und addieren alles auf.

  Lösung

  Die Spaltenanzahl der Matrix muss mit der Zeilenanzahl des Vektors übereinstimmen, um eine Multiplikation ausführen zu können. Die gegebene Matrix hat zwei Spalten und der Vektor hat zwei Zeilen, also können wir die Berechnung ausführen.

  Wir multiplizieren eine Matrix mit einem Vektor, indem wir die Elemente der entsprechenden Zeile von $A$ mit den Elementen der Spalte von $\vec x$ multiplizieren und anschließend die jeweiligen Produkte summieren. Das allgemeine Schema für die Multiplikation einer $2 \times 2$ Matrix mit einem $2 \times 1$ Vektor ist:

  $\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a_{11}\cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 \\ a_{21}\cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 \end{array}\right)$.

  Bezogen auf unsere gegebenen Werte erhalten wir also den Vektor:

  $\left(\begin{array}{c} 2\cdot 4 + 3 \cdot (-2) \\ 2\cdot 3 + 3\cdot 5 \end{array}\right)$.

• Multipliziere eine Einheitsmatrix mit einem Vektor.

  Tipps

  Denke dir ein Beispiel aus; achte dabei darauf, dass die Spaltenanzahl der Matrix mit der Zeilenanzahl des Vektors übereinstimmt.

  Berechne $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)$.

  Was erhältst du als Lösung?

  Lösung

  Eine Einheitsmatrix hat nur in der Hauptdiagonalen Einsen und sonst Nullen. Multiplizieren wir diese mit einem beliebigen Vektor $\vec x$, welcher dieselbe Zeilenanzahl hat, wie die Matrix Spalten enthält, so erhalten wir immer wieder diesen Vektor $\vec x$.

  An Beispielen können wir uns dies deutlich machen:

  $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} 1\cdot 1 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 3\\ 0\cdot 1 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 3 \\ 0\cdot 1 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)$

  $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} 1\cdot 4 + 0 \cdot 5 \\ 0\cdot 4 + 1 \cdot 5 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array}\right)$

  Die Einheitsmatrix ist also in der Multiplikation mit Vektoren (oder Matrizen) das neutrale Element, wie z. B. auch die Eins das neutrale Element in der Multiplikation reeller Zahlen ist: $1 \cdot 3 = 3$.