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Was ist ein Maßstab?

Du möchtest wissen, was ein Maßstab auf einer Landkarte ist? Der Maßstab gibt an, wie sich eine Strecke auf der Karte in der Wirklichkeit verhält. Ein Beispiel: 1 cm1~\text{cm} auf der Karte entspricht 25 km25~\text{km} in der Wirklichkeit. Interessiert? Das und mehr erfährst du im folgenden Text!

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Wie berechnet man den Maßstab?

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Was ist ein Maßstab?
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Beschreibung zum Video Was ist ein Maßstab?

Kannst du Martha Polo dabei helfen, ihren Trip von Frankreich nach England zu planen? Du musst dazu wissen, was ein Maßstab ist. Und genau das erklären wir dir in diesem Video.

Du erfährst, was ein Maßstab ist und wie man ihn verwendet. Du lernst außerdem, wie man verschiedene Maßstäbe ganz einfach ineinander umrechnen kann. Das alles kannst du gleich im Anschluss mit unseren Übungen ausprobieren. Du erfährst natürlich auch, ob Martha Polo es bis nach England schafft.

Grundlagen zum Thema Was ist ein Maßstab?

Einleitung

Du hattest bestimmt schon einmal eine Landkarte in der Hand, oder? Dann hast du dich bestimmt gefragt, wie man bestimmen kann, wie weit ein Ort in Wirklichkeit entfernt ist. Um das herauszufinden, brauchst du den Maßstab der Karte. Und was das ist, wollen wir uns heute anschauen.

Der Maßstab

Was ist ein Maßstab?

Wir betrachten zuerst eine Karte, die einen Ausschnitt von Europa zeigt. Wir wollen wissen, wie groß die Distanz zwischen England und Frankreich ist, wenn wir mit einem Schiff der roten Linie auf dem Bild folgen.

Maßstab auf einer Landkarte

Definition Maßstab

Auf der Landkarte messen wir genau 4 cm4~\text{cm}. Außerdem können wir links oben auf der Karte lesen 1:2.500.0001:2.500.000. Das ist der Maßstab der Karte, und man sagt:

Der Maßstab ist 1 zu 2.500.000\text{Der Maßstab ist } 1 \text{ zu } 2.500.000.

Das bedeutet, dass 1 cm1~\text{cm} auf der Karte 2.500.000 cm2.500.000~\text{cm} in der Wirklichkeit entspricht. Das können wir natürlich noch in Meter umwandeln. Das sind dann genau 25.000 m25.000~\text{m}. Und das sind wiederum 25 km25~\text{km}.

2.500.000 cm=25.000 m=25 km2.500.000~\text{cm} = 25.000~\text{m} = 25~\text{km}

Also entspricht 1 cm1~\text{cm} auf der Karte 25 km25~\text{km} in der Wirklichkeit.

Und wie können wir jetzt mit dem Maßstab umrechnen, wie weit die Strecke von 4 cm4~\text{cm} in Wirklichkeit ist? Das geht ganz einfach, indem wir beide Seiten umrechnen.

Wir schreiben uns zunächst noch einmal den Maßstab auf, aber benutzen dieses Mal ein neues Zeichen. Das neue Zeichen sieht so aus: =^\hat{=}. Es bedeutet entspricht, und wir müssen es statt des Gleichheitszeichens verwenden. Denn 1 cm1~\text{cm} ist natürlich nicht das Gleiche wie 25 km25~\text{km}, sondern entspricht nur dieser Entfernung in der Wirklichkeit. Also schreiben wir uns auf:

1 cm =^ 25 km1~\text{cm } \hat{=} ~25~\text{km}

Jetzt wollen wir wissen, wie viele Kilometer 22 Zentimetern entsprechen. Dazu müssen wir 11 mit 22 malnehmen, und deswegen nehmen wir auch 2525 mit 22 mal:

1 cm =^ 25 km1~\text{cm } \hat{=} ~25~\text{km}

2\big\downarrow \cdot 2

2 cm =^ 50 km2~\text{cm } \hat{=} ~50~\text{km}

Um herauszufinden, wie lang die Strecke von 4 cm4~\text{cm} in Wirklichkeit ist, müssen wir mit 44 multiplizieren:

1 cm =^ 25 km1~\text{cm } \hat{=} ~25~\text{km}

4\big\downarrow \cdot 4

4 cm =^ 100 km4~\text{cm } \hat{=} ~100~\text{km}

Die Entfernung ist in Wirklichkeit also 100 km100~\text{km} lang, und das konnten wir allein mithilfe der Kartenstrecke und des Maßstabs ausrechnen.

Wie berechnet man den Maßstab?

Wir können jetzt auch eine Definition für den Maßstab aufschreiben:

Der Maßstab ist gleich die Länge der Kartenstrecke durch die Länge der Originalstrecke. Allgemein bedeutet dies, dass der Maßstab gleich der Streckenlänge im Bild durch die Streckenlänge im Original ist.

Du kannst also den Maßstab auch selbst berechnen, wenn du deine Länge auf der Karte und im Original kennst. Du musst nur beide Werte durcheinander teilen.

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Vorschaubild einer Übung

Maßstab – Beispiele

Schauen wir uns ein paar weitere Beispiele an. Du hast bestimmt schon einmal ein Mikroskop gesehen oder vielleicht sogar benutzt. Damit kann man kleine Dinge vergrößern und sich zum Beispiel winzige Bakterien anschauen.

Maßstab einer Vergrößerung im Mikroskop

Das Mikroskop hat eine 13501350-fache Vergrößerung. Du siehst die Bakterien also 13501350 Mal größer, als sie in Wirklichkeit sind. Du kannst dann auch sagen:

Der Maßstab ist 1350 zu 1.\text{Der Maßstab ist } 1350 \text{ zu } 1.

Einem Zentimeter im Bild entspricht also ein Eintausendreihunderfünfzigstel in der Wirklichkeit. Weil hier das Bild größer ist als die Wirklichkeit, spricht man auch von einer Vergrößerung. Bei unserer Karte war es genau andersrum: Das Bild, also die Karte, war viel kleiner als das Original. Das ist eine Verkleinerung. Du kannst beides auch daran erkennen, wo die größere Zahl im Maßstab steht: Ist die größere Zahl im Maßstab links, dann handelt es sich um eine Vergrößerung. Steht sie dagegen rechts, ist es eine Verkleinerung.

Maßstab umrechnen – Beispiele

Wir wollen uns noch ein paar Beispiele dazu anschauen, wie man mit einem Maßstab rechnen kann.

Als Erstes betrachten wir das Modell einer Moai-Statue und halten es neben das Original. Die Moai-Statuen sind sehr alte Kunstwerke, die auf den Osterinseln im Pazifik stehen. Auf dem Bild siehst du, dass unser Modell viel kleiner als das Original ist.

Maßstab eines Modells berechnen

Das Modell ist im Maßstab 1:211 : 21 gefertigt. Also entspricht 1 cm1~\text{cm} im Modell 21 cm21~\text{cm} in der echten Statue. Die echte Statue ist 4,2 m4,2~\text{m}, also 420 cm420~\text{cm} hoch. Um zu berechnen, wie hoch das Modell ist, müssen wir also herausfinden, wie oft die 2121 in die 420420 passt. Dazu teilen wir die Werte einfach:

420:21=20420 : 21 = 20

Das Modell ist also 20 cm20~\text{cm} hoch.

Wir können aber auch mithilfe des Maßstabs die Größe des Modells in die Größe des Originals umrechnen. Dazu schauen wir uns ein Modell von Stonehenge an, einem sehr alten Bauwerk in England.

Maßstab eines Modells berechnen

Das Modell ist auch 20 cm20~\text{cm} hoch, aber der Maßstab ist dieses Mal 1:321 : 32. Also entspricht 1 cm1~\text{cm} im Modell 32 cm32~\text{cm} in der Realität. Wir müssen also 2020 mit 3232 multiplizieren:

2032=64020 \cdot 32 = 640

Stonehenge ist also 640 cm640~\text{cm} oder 6,4 m6,4~\text{m} hoch.

Maßstab – Übungen

Ausblick – das lernst du nach dem Thema Maßstab

Beschäftige dich weiterführend mit der Flächenberechnung von Dreiecken und Vierecken oder lerne mehr über das Thema Kongruenz.

Wenn du das Gelernte direkt anwenden möchtest, dann schau dir den Übungstext zum Maßstab an!

Maßstab – Zusammenfassung

  • Maßstäbe werden oft auf Bauplänen oder Landkarten verwendet.
  • Ein Maßstab gibt das Verhältnis zwischen einer Strecke auf einer Karte oder einem Modell zur tatsächlichen Strecke in der Realität an.
  • Mit dem Maßstab kannst du berechnen, wie groß die tatsächliche und die abgebildete Größe sind.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Was ist ein Maßstab?

Transkript Was ist ein Maßstab?

Martha Polo möchte mit dem Segelboot von England nach Frankreich segeln. Um ihren Trip zu planen, schaut sie sich verschiedene Karten an. Aber auf dieser Karte sieht die Strecke ja viel länger aus als auf der anderen. Auch wenn wir dies ausmessen, sehen wir, dass es auf der einen Karte 1 cm und auf der anderen Karte 4 cm sind. Aber warum messen wir hier denn zwei verschiedene Längen? Das hat etwas mit dem Maßstab der Karte zu tun. Schauen wir uns dazu doch die erste Karte noch einmal an. Wir sehen hier die Angaben zu dem Maßstab. Man sagt: 1 zu 2.500.000. Das bedeutet, dass 1 cm auf der Karte 2.500.000 cm in der Wirklichkeit entsprechen. Um es einfacher zu machen, können wir die 2.500.000 cm in m umwandeln, haben also 25.000m und das sind 25km. Also entspricht 1 cm auf der Karte 25km in der Wirklichkeit. Die Karte ist dementsprechend eine Verkleinerung der Wirklichkeit. Misst man auf der Karte 2 cm, so sind das 50km in der Wirklichkeit, 3 cm entsprechen 75 Kilometern und so weiter. Und wie viel würde dann die ausgemessene Entfernung von 4cm in der Realität sein? 1 Zentimeter auf der Karte entsprechen 25 km. Um nun zu erfahren, wie viele Meter in der Wirklichkeit 4 cm auf der Karte entsprechen, multiplizieren wir 1cm mit der 4. Dasselbe machen wir mit den 25 km. So erhalten wir als Ergebnis: 4 cm entsprechen 4 mal 25 km, also 100 km. Der Maßstab ist gleich die Länge der Kartenstrecke durch die Länge der Originalstrecke. Allgemein bedeutet dies, dass der Maßstab gleich der Streckenlänge im Bild durch die Streckenlänge im Original ist. Schauen wir uns ein paar andere Beispiele an. Wenn du durch ein Mikroskop schaust, kannst du kleine Dinge vergrößern, so wie diese Bakterien. Das Mikroskop hat eine 1350-fache Vergrößerung. Der Maßstab ist also 1350 zu 1. 1cm im Bild entspricht also ein eintausendreihunderfünfzigstel in der Wirklichkeit. Ist das Bild größer als das Original, also so wie hier, dann spricht man von einer Vergrößerung. Wenn das Bild kleiner als das Original ist, wie zum Beispiel bei der Karte, dann spricht man von einer Verkleinerung. Eine Vergrößerung erkennst du übrigens daran, dass die größere Zahl im Maßstab links steht. Aber zurück zu Martha. Von vielen ihrer Reisen hat sie sich kleine Modelle mitgebracht. Diese sind alle eine Verkleinerung der Originale. Würde man zum Beispiel dieses Modell der Moai Statue neben das Original stellen, erkennt man, wie klein das Modell tatsächlich ist. Das Model ist im Maßstab eins zu 21 angefertigt. Die Moai Statue hat eine Höhe von 4,2 Metern. Ein Zentimeter im Modell entspricht 21cm in der Wirklichkeit. Wie hoch ist sie dann in diesem Modell? Rechnen wir dazu die Höhe doch erst einmal in Zentimeter um. Insgesamt haben wir also 420 cm. Wenn immer 21 cm im Original ein cm beim Modell entsprechen, dann müssen wir lediglich berechnen, wie oft die 21 in die 420 passt. Also teilen wir 420 durch 21 und erhalten 20cm. 20cm beim Modell entsprechen den 4,2 Metern in der Realität. Das Modell ist 20 cm hoch. Wir können aus der Größe eines Modells aber auch die Größe des Originals bestimmen. Schauen wir uns dazu doch dieses Modell vom berühmten Stonehenge in England an. Das Modell ist 20cm hoch. Es hat den Maßstab eins zu 32. Wie groß ist der Stein dann in Wirklichkeit? Wenn 1 cm beim Modell 32 cm in der Realität entsprechen. Dann entsprechen 20 cm beim Modell 32 cm mal 20. Das sind 6,4 Meter. Der Stein ist also 6,4 Meter hoch. Bevor Martha auf die nächste Reise geht, fassen wir zusammen. Der Maßstab ist gleich der Streckenlänge im Bild durch die Streckenlänge im Original. Wenn das Bild kleiner als das Original ist, wie zum Beispiel bei der Karte, dann spricht man von einer Verkleinerung. Ist das Bild größer als das Original, wie zum Beispiel bei den Bakterien, dann spricht man von einer Vergrößerung. Und jetzt hat Martha auch verstanden, warum die beiden Karten unterschiedliche Längen aufweisen. Sie haben einen anderen Maßstab. Na dann kann's ja losgehen. Mit diesem Schiff wird sie wohl nicht weit kommen.

Was ist ein Maßstab? Übung

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